중학교 3학년 수학 기초부터 탄탄하게! 제곱수 파헤치기

 새 학기 준비는 잘하고 계신가요?  
특히 중학교 3학년 학생들은 고등학교 진학을 앞두고 있기 때문에 이번 학기가 정말 중요한 시기입니다.  
그중에서도 수학! 수학은 기초가 탄탄해야 고등학교에 가서도 어려움 없이 공부할 수 있죠.

오늘은 수학에서 정말 자주 등장하는 **제곱수**에 대해 이야기해보려고 합니다.  
제곱수는 마치 마법 같은 숫자예요! 규칙도 있고, 신기한 성질도 있어서 수학의 여러 분야에서 아주 중요한 역할을 합니다.  
제곱수가 무엇인지, 왜 중요한지, 그리고 어떤 재미있는 특징이 있는지 알아볼까요?

## 제곱수란 무엇일까요? 마법 같은 숫자의 세계  

여러분, 숫자에도 특별한 숫자가 있다는 걸 알고 있나요? 바로 **제곱수**입니다!  

제곱수는 **어떤 자연수를 자기 자신과 곱해서 만든 숫자**를 말합니다.  
쉽게 말해 2를 두 번 곱하면 4, 3을 두 번 곱하면 9가 되는 거죠.

$$
1^2 = 1, \quad 2^2 = 4, \quad 3^2 = 9, \quad 4^2 = 16, \quad 5^2 = 25
$$

이렇게 해서 나온 숫자들이 바로 제곱수입니다.  
그럼 한 가지 문제! 만약 7을 제곱하면 뭐가 될까요?  
정답은… **49!** 🎉

제곱수는 수학에서 아주 중요한 개념이에요.  
도형의 넓이를 구할 때도, 숫자의 규칙을 찾을 때도, 심지어 고등학교 가서 방정식을 풀 때도 꼭 필요하답니다!

## 제곱수의 특별한 성질  

자, 이제 제곱수의 재미있는 특징을 살펴볼까요?

🔹 **짝수의 제곱은 항상 짝수!**  

예를 들면,  
$$
2^2 = 4, \quad 4^2 = 16, \quad 6^2 = 36
$$  
보세요! 짝수를 제곱하면 항상 짝수가 나오죠.

🔹 **홀수의 제곱은 항상 홀수!**  

$$
1^2 = 1, \quad 3^2 = 9, \quad 5^2 = 25
$$  
홀수를 제곱하면 항상 홀수가 나오는 것도 신기하죠?

🔹 **제곱수의 일의 자리는 일정한 규칙이 있어요!**  

제곱수를 보면 일의 자리에 나올 수 있는 숫자는 **0, 1, 4, 5, 6, 9**뿐이에요!  

예를 들어볼까요?

$$
1^2 = 1, \quad 2^2 = 4, \quad 3^2 = 9, \quad 4^2 = 16, \quad 5^2 = 25, \quad 6^2 = 36, \quad 7^2 = 49, \quad 8^2 = 64, \quad 9^2 = 81, \quad 10^2 = 100
$$

어때요? 일의 자리에 2, 3, 7, 8은 절대 나오지 않죠?  
이걸 기억해두면 제곱수인지 아닌지 빠르게 판별할 수 있어요!

## 제곱수를 활용한 문제 풀이 전략 🎯  

제곱수를 잘 알면 어려운 문제도 쉽게 풀 수 있어요. 어떻게 활용할 수 있는지 살펴볼까요?

### 🎈 1. 도형의 넓이 계산하기  

제곱수는 도형의 넓이를 구하는 데도 유용해요.  
예를 들어, 정사각형의 넓이는 한 변의 길이를 제곱하면 구할 수 있어요.

만약 한 변이 7cm인 정사각형이 있다면 넓이는?  
$$
7^2 = 49
$$  
바로 49cm²입니다! 🎉

### 🎈 2. 수열에서 제곱수 찾기  

이 숫자들을 보면 어떤 규칙이 보이나요?  
$$
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
$$  

맞아요! 이건 1부터 차례대로 자연수를 제곱한 수들이에요.  
패턴을 알면 다음 숫자도 쉽게 예상할 수 있겠죠?

## 제곱수를 활용한 고급 문제 도전! 💪  

이제 실력을 점검해볼까요? 아래 문제를 한번 풀어보세요!

1. **1부터 10까지의 제곱수의 합을 구하세요.**  
2. **연속된 두 제곱수의 차가 항상 홀수임을 설명해보세요.**  
3. **가로와 세로가 같은 정사각형이 있는데 넓이가 121cm²일 때, 한 변의 길이는 얼마일까요?**  

### 정답과 풀이 🎯  

1. **1부터 10까지의 제곱수의 합**  

   $$
   1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 10^2
   $$  

   계산하면  
   $$
   1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385
   $$  

2. **연속된 두 제곱수의 차는 항상 홀수**  

   연속된 두 자연수를 각각 $n$과 $n+1$이라 할 때, 이들의 제곱수 차를 구해봅시다.

   $$
   (n+1)^2 - n^2 = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1
   $$  

   항상 2n + 1이 되는데, 2n은 짝수이고 여기에 1을 더하면 항상 홀수가 됩니다.  
   따라서 연속된 두 제곱수의 차는 언제나 홀수입니다!

3. **넓이가 121cm²인 정사각형의 한 변의 길이**  

   $$
   x^2 = 121
   $$  

   이 식을 만족하는 x는?  

   $$
   x = 11
   $$  

   따라서 한 변의 길이는 **11cm**입니다.