중학교 수학 이차함수란 무엇일까? 이차 함수의 정의

 

오늘은 중학교 수학에서 정말 중요한 개념 중 하나인 이차함수에 대해 알아보려고 합니다.

 

함수라는 말은 많이 들어봤을 텐데요, 그중에서도 '이차'라는 말이 붙으면 어떤 특징을 가지게 될까요?

 

이차함수는 우리 주변의 다양한 현상들, 예를 들어 공을 던졌을 때 그리는 포물선 모양이나 건축물의 아름다운 아치 구조 등을 수학적으로 표현할 때 많이 사용됩니다.

 

함수...말만 들어도 어렵고 두려움이 앞서는거 잘 알아요.

함수는 그래프 많이 그려봐야 이해가 빨라요.

 

 조금 어렵게 느껴질 수 있지만, 그래프로 이해를 해야 함수 문제는 정확하게 풀 수 있답니다.

 

 

 

 

 

 

✨ 이차함수의 정의: 이차함수는 어떻게 생겼을까?

 

우리가 함수를 이야기할 때 보통 \(y = f(x)\)와 같이 표현하죠? 이는 '\(y\)는 \(x\)에 대한 함수이다'라는 뜻이에요.

\(x\)의 값이 변함에 따라 \(y\)의 값이 하나씩 정해지는 관계를 의미합니다.

 

값이 하나만 존재하면 됩니다.

 

 

그렇다면 이차함수란 무엇일까요?
간단히 말해, 함수 \(y = f(x)\)에서 \(y\)가 \(x\)에 대한 이차식으로 표현될 때, 이 함수를 \(x\)에 대한 이차함수라고 부릅니다.

이차식의 일반적인 형태를 사용해서 이차함수를 표현하면 다음과 같아요:

\[ y = ax^2 + bx + c \]

여기서 \(a, b, c\)는 정해진 숫자, 즉 상수입니다. 그리고 가장 중요한 조건이 하나 있어요! 바로 \(x^2\)의 계수인 \(a\)는 절대로 0이 되어서는 안 됩니다 (\(a \neq 0\)).

 

이차항의 계수가 절대 0이 되어서는 안됩니다.  극단적으로 얘기하면, 이차항의 계수만 0이 아니면 됩니다.

 

 

🤔 왜 \(a \neq 0\) 이어야 할까요?

만약 \(a=0\)이라면 어떻게 될까요?
\(y = 0 \cdot x^2 + bx + c\) 가 되어서 \(y = bx + c\) 가 됩니다.
어? 이 식은 어디서 많이 본 것 같지 않나요? 맞아요! 이건 바로 일차함수 (또는 \(b=0\)이면 상수함수)의 형태예요. \(x^2\) 항이 사라지면 더 이상 이차식이 아니게 되므로, 이차함수라고 부를 수 없게 됩니다. 그래서 이차함수가 되기 위해서는 \(x^2\) 항이 반드시 존재해야 하고, 그러려면 \(a \neq 0\) 이라는 조건이 필수적입니다!

 

 

 

 

💡 이차함수의 예시들

이차함수는 다양한 모습을 가질 수 있어요. 몇 가지 예를 살펴볼까요?

• \( y = 3x^2 - 5x + 2 \) (여기서 \(a=3, b=-5, c=2\) 입니다.)
• \( y = -x^2 + 7 \) (여기서 \(a=-1, b=0, c=7\) 입니다. 일차항이 없어도 괜찮아요!)
• \( y = \frac{1}{2}x^2 \) (여기서 \(a=\frac{1}{2}, b=0, c=0\) 입니다. 일차항과 상수항이 모두 없어도 이차항만 있으면 이차함수!)

 

 

 

 

 

🔍 예제 문제로 이차함수 확인하기

이제 이차함수가 무엇인지 알았으니, 실제 예제 문제를 통해 이차함수를 구별하는 연습을 해봅시다!

 

문제 사이의 간격을 두어서 문제를 풀어 본 후에 아래로 스크롤해서 답을 확인해 주세요.

 

 

 

예제 1

다음 보기 중에서 \(y\)가 \(x\)에 대한 이차함수인 것을 모두 고르고, 이차함수인 경우에는 각각 \(a, b, c\)의 값을 구하시오.

1. \( y = 4x^2 - x + 9 \)
2. \( y = -2x^3 + 5x^2 - 1 \)
3. \( y = (x+3)^2 - x^2 \)
4. \( y = 7 - 2x \)
5. \( y = x(x-5) + 5x \)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이:

이차함수가 되려면 \(y\)가 \(x\)에 대한 이차식, 즉 \(y = ax^2 + bx + c\) (\(a \neq 0\)) 꼴로 정리되어야 합니다.

1. \( y = 4x^2 - x + 9 \)
   이 식은 \(x\)에 대한 이차식 형태를 바로 갖추고 있습니다.
   따라서 이차함수입니다.
   이때, \(a = 4\), \(b = -1\), \(c = 9\) 입니다.
2. \( y = -2x^3 + 5x^2 - 1 \)
   이 식에는 \(x^3\) 항이 있습니다. 가장 높은 차수가 3이므로 삼차식입니다.
   따라서 이차함수가 아닙니다.
3. \( y = (x+3)^2 - x^2 \)
   먼저 괄호를 풀어 식을 정리해야 합니다.
   \( (x+3)^2 = (x+3)(x+3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9 \)
   따라서 \( y = (x^2 + 6x + 9) - x^2 = x^2 - x^2 + 6x + 9 = 6x + 9 \)
   정리된 식 \( y = 6x + 9 \)는 \(x\)에 대한 일차식입니다.
   따라서 이차함수가 아닙니다.
4. \( y = 7 - 2x \)
   이 식은 \( y = -2x + 7 \)로, \(x\)에 대한 일차식입니다.
   따라서 이차함수가 아닙니다. (일차함수입니다.)
5. \( y = x(x-5) + 5x \)
   괄호를 풀어 식을 정리합니다.
   \( y = x \cdot x - x \cdot 5 + 5x = x^2 - 5x + 5x = x^2 \)
   정리된 식 \( y = x^2 \)는 \(x\)에 대한 이차식입니다. (\(b=0, c=0\)인 경우)
   따라서 이차함수입니다.
   이때, \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = 0\) 입니다.

정답: 이차함수인 것은 1번, 5번 입니다.
1번: \(a=4, b=-1, c=9\)
5번: \(a=1, b=0, c=0\)

 

 

 

 

 

 

 

 

예제 2

함수 \( y = kx^2 + 3x - (2x^2 - 1) \) 이 \(x\)에 대한 이차함수가 되기 위한 상수 \(k\)의 조건을 구하시오.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이:

주어진 함수가 \(x\)에 대한 이차함수가 되려면, 식을 정리했을 때 \(x^2\)의 계수가 0이 아니어야 합니다.

먼저 주어진 식을 \(x\)에 대한 내림차순으로 정리해 봅시다.

\[ \begin{align*} y &= kx^2 + 3x - (2x^2 - 1) \\ &= kx^2 + 3x - 2x^2 + 1 \\ &= (kx^2 - 2x^2) + 3x + 1 \\ &= (k-2)x^2 + 3x + 1 \end{align*} \]

이 함수가 이차함수가 되려면 \(x^2\)의 계수인 \((k-2)\)가 0이 아니어야 합니다.
즉, \( k-2 \neq 0 \) 이어야 합니다.

따라서 \( k \neq 2 \) 입니다.

정답: \( k \neq 2 \)

 

 

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✅ 결론: 이차함수, 이것만은 꼭 기억하자!

• 이차함수는 \(y\)가 \(x\)에 대한 이차식, 즉 \( y = ax^2 + bx + c \) 꼴로 표현되는 함수입니다.
• 여기서 가장 중요한 것은 \(x^2\)의 계수인 \(a\)가 절대로 0이 되어서는 안 된다는 점 (\(a \neq 0\))입니다!
• \(b\)나 \(c\)는 0이 되어도 괜찮습니다. 즉, \(y = ax^2\) 이나 \(y = ax^2 + c\), \(y = ax^2 + bx\) 형태도 모두 이차함수입니다. (단, \(a \neq 0\))

 

 

 

오늘은 이차함수의 정의와 기본적인 형태에 대해 알아보았습니다. 이차함수는 앞으로 그래프의 모양, 꼭짓점, 축의 방정식 등 더욱 흥미로운 내용들을 배우게 될 거예요. 오늘 배운 이차함수의 정의를 잘 기억해두면 다음 내용을 이해하는 데 큰 도움이 될 겁니다. 모두 수고하셨습니다! 

 

 

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중학 수학 이차함수의 정의