공약수와 최대공약수
(1) 공약수 (Common Divisor)
공약수란, 둘 이상의 자연수에서 공통으로 들어있는 약수를 의미합니다.
어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 '약수'라고 하죠. 예를 들어, 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 공약수를 찾으려면 먼저 각 수의 약수를 모두 구해야 합니다.
- 8의 약수: 1, 2, 4, 8
- 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- → 8과 12의 공약수: 1, 2, 4
(2) 최대공약수 (Greatest Common Divisor, GCD)
최대공약수란, 이름 그대로 공약수 중에서 가장 큰 수를 말합니다.
위에서 구한 8과 12의 공약수 (1, 2, 4) 중에서 가장 큰 수는 4입니다.
→ 따라서 8과 12의 최대공약수는 4입니다.
[참고] 공약수 중에서 가장 작은 수는 항상 1입니다. 그래서 '최소공약수'라는 말은 보통 사용하지 않습니다.
(3) 최대공약수의 성질
"두 개 이상의 자연수의 공약수는 그 수들의 최대공약수의 약수와 같다."
이 성질은 매우 중요합니다! 두 수의 모든 공약수를 찾고 싶을 때, 두 수의 약수를 각각 구할 필요 없이 최대공약수만 구하면 됩니다. 그리고 그 최대공약수의 약수를 구하면 그게 바로 두 수의 모든 공약수가 됩니다.
8과 12의 공약수는 1, 2, 4입니다.
그리고 8과 12의 최대공약수는 4입니다.
이때, 4의 약수는 1, 2, 4입니다.
→ 결국, "8과 12의 공약수인 1, 2, 4는 8과 12의 최대공약수인 4의 약수이다." 라는 사실을 알 수 있습니다.
(4) 서로소 (Relatively Prime)
서로소란, 최대공약수가 1인 두 자연수의 관계를 말합니다. 즉, 두 수의 공약수가 1밖에 없다는 뜻입니다.
- 예 1) 2와 3의 관계
2의 약수: 1, 2
3의 약수: 1, 3
최대공약수가 1이므로 2와 3은 서로소입니다. - 예 2) 8과 15의 관계
8의 약수: 1, 2, 4, 8
15의 약수: 1, 3, 5, 15
최대공약수가 1이므로 8과 15는 서로소입니다.
✏️ 예제 문제
문제 1
두 수 24와 40의 모든 공약수와 최대공약수를 각각 구하세요.
문제 2
두 수 54와 90이 있습니다. 최대공약수의 성질을 이용하여 두 수의 모든 공약수를 구하세요.
문제 3
다음 숫자 쌍 중에서 서로소인 것을 모두 고르세요.
(가) 7, 14 (나) 15, 28 (다) 20, 33 (라) 27, 36
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