정의·극한·함숫값으로 판단하는 실전 7문제
함수가 \(x=a\)에서 연속인지 판단할 때 그래프 모양만 보고 결정하면 실수하기 쉽습니다. 함숫값의 존재 → 극한값의 존재 → 두 값의 일치를 순서대로 확인하면 어떤 문제라도 정확하게 연속과 불연속을 판별할 수 있습니다.
함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 연속이려면 다음 세 가지 조건을 모두 만족해야 합니다.
하나라도 만족하지 않으면 함수는 \(x=a\)에서 불연속입니다.
연속을 판별하려면 좌극한과 우극한이 같은지, 그리고 극한값과 함숫값이 같은지를 구분할 수 있어야 합니다. 네이버 블로그에서는 이 과정을 그림 중심으로 정리했습니다.
\(x=a\)에서 함수가 실제로 정의되어 있어야 합니다.
좌극한과 우극한이 같은 값으로 존재해야 합니다.
극한값과 실제 함숫값이 정확히 같아야 합니다.
전체 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
그리고 연속이 되려면 그 값 \(L\)이 실제 함숫값 \(f(a)\)와도 같아야 합니다.
| 불연속 유형 | 문제 상황 | 깨진 조건 |
|---|---|---|
| 함숫값 없음 | \(f(a)\)가 정의되지 않음 | 조건 ① |
| 점프 | 좌극한과 우극한이 다름 | 조건 ② |
| 극한값과 함숫값 불일치 | 극한은 존재하지만 \(f(a)\)와 다름 | 조건 ③ |
극한값의 존재는 연속의 두 번째 조건일 뿐입니다. \(f(a)\)가 정의되어 있는지, 그리고 그 값이 극한값과 같은지까지 확인해야 합니다.
다항함수가 한 점에서 연속인지 판단하기
함수 \(f(x)=x^2+2x-1\)이 \(x=2\)에서 연속인지 판별하세요.
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\(f(2)\)가 정의되어 있습니다.
분모가 0이 아닌 점에서의 연속
함수
가 \(x=1\)에서 연속인지 판별하세요.
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\(x=1\)에서 분모가 0이 아니므로 직접 대입할 수 있습니다.
극한은 존재하지만 함숫값이 다른 경우
함수 \(f(x)\)가 다음과 같이 정의되어 있을 때, \(x=2\)에서 연속인지 판별하세요.
| \(\dfrac{x^2-4}{x-2}\) | \((x\ne2)\) |
| \(5\) | \((x=2)\) |
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함숫값은 정의되어 있습니다.
이 함수는 극한값 4와 함숫값 5가 서로 다르므로 연속의 세 번째 조건을 만족하지 않습니다.
극한값은 있지만 함수가 정의되지 않은 경우
함수
가 \(x=3\)에서 연속인지 판별하세요.
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함수의 정의에서 \(x=3\)은 제외되어 있으므로 \(f(3)\)은 정의되지 않습니다.
극한값은 존재하지만 \(f(3)\) 자체가 정의되어 있지 않습니다. 연속의 첫 번째 조건이 깨졌습니다.
좌극한과 우극한이 서로 다른 구간별 함수
함수 \(f(x)\)가 다음과 같을 때 \(x=1\)에서 연속인지 판별하세요.
| \(x+1\) | \((x<1)\) |
| \(3\) | \((x=1)\) |
| \(2x+1\) | \((x>1)\) |
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좌극한과 우극한이 다르므로 \(\lim_{x\to1}f(x)\)는 존재하지 않습니다.
좌우 식이 만나는 값을 같게 만들기
함수 \(f(x)\)가 \(x=2\)에서 연속이 되도록 상수 \(k\)의 값을 구하세요.
| \(kx+1\) | \((x<2)\) |
| \(x^2-1\) | \((x\ge2)\) |
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\(x=2\)에서는 두 번째 식을 사용합니다.
뚫린 점을 어떤 값으로 채워야 연속이 될까?
함수 \(f(x)\)가 \(x=3\)에서 연속이 되도록 상수 \(k\)의 값을 구하세요.
| \(\dfrac{x^2-9}{x-3}\) | \((x\ne3)\) |
| \(k\) | \((x=3)\) |
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주변의 그래프가 \(y=6\)으로 모이고 있으므로 \(x=3\)에서의 함숫값도 6으로 정의하면 그 점에서 연속이 됩니다.
정답표 열기
| 문제 | 핵심 판별 | 결과 |
|---|---|---|
| 문제 1 | 다항함수 | \(x=2\)에서 연속 |
| 문제 2 | 유리함수, 분모 ≠ 0 | \(x=1\)에서 연속 |
| 문제 3 | 극한값 ≠ 함숫값 | 불연속 |
| 문제 4 | 함숫값 정의 안 됨 | 불연속 |
| 문제 5 | 좌극한 ≠ 우극한 | 불연속 |
| 문제 6 | 구간별 함수의 연속 조건 | \(k=1\) |
| 문제 7 | 함숫값 재정의 | \(k=6\) |
극한값이 존재해도 함숫값이 없거나, 극한값과 함숫값이 다르면 불연속입니다.
\(f(a)\)가 정의되어 있어도 좌극한과 우극한이 다르면 전체 극한값이 존재하지 않으므로 불연속입니다.
연속을 판단할 때는 \(f(a)\)뿐 아니라 \(a\)의 왼쪽과 오른쪽에서 사용하는 식을 모두 확인해야 합니다.
극한값은 \(x\)가 \(a\)에 가까워질 때의 값이고, 함숫값은 \(x=a\)일 때 실제로 정의된 값입니다.
- \(f(a)\)가 정의되어 있는지 확인합니다.
- 좌극한을 구합니다.
- 우극한을 구합니다.
- 좌극한과 우극한이 같은지 확인합니다.
- 그 극한값이 \(f(a)\)와 같은지 확인합니다.
- 세 조건을 모두 만족하면 연속, 하나라도 실패하면 불연속입니다.
Q1. 극한값이 존재하면 함수는 연속인가요?
아닙니다. 극한값의 존재는 연속 조건 중 하나입니다. \(f(a)\)가 정의되어 있고, 그 값이 극한값과 같아야 연속입니다.
Q2. 함수가 x=a에서 정의되지 않으면 연속일 수 있나요?
없습니다. \(f(a)\)가 정의되어 있어야 한다는 것이 연속의 첫 번째 조건입니다.
Q3. 좌극한과 우극한이 같으면 바로 연속인가요?
좌극한과 우극한이 같으면 전체 극한은 존재합니다. 하지만 그 값이 실제 함숫값 \(f(a)\)와 같은지까지 확인해야 합니다.
Q4. 그래프가 끊어져 보이지 않으면 연속인가요?
직관적으로는 도움이 되지만 그래프 모양만 보고 판단하면 실수할 수 있습니다. 반드시 함숫값, 극한값, 두 값의 일치를 확인하는 것이 정확합니다.
Q5. 다항함수는 항상 연속인가요?
다항함수는 모든 실수에서 연속입니다. 따라서 다항함수만 주어진 문제에서는 해당 값을 직접 대입하여 함숫값과 극한값을 확인할 수 있습니다.
Q6. 유리함수는 어디에서 연속인가요?
유리함수는 분모가 0이 되지 않는 모든 점에서 연속입니다. 분모가 0이 되는 점은 함수가 정의되지 않을 수 있으므로 별도로 확인해야 합니다.
- 연속 판별은 정의 → 극한 → 일치 순서로 확인합니다.
- \(f(a)\)가 정의되어 있어야 합니다.
- \(\lim_{x\to a}f(x)\)가 존재해야 합니다.
- 극한값과 함숫값이 같아야 합니다.
- 좌극한과 우극한이 다르면 전체 극한이 존재하지 않습니다.
- 극한값만 존재하거나 함숫값만 존재하는 것으로는 연속이 아닙니다.
- 구간별 함수의 미정계수 문제는 좌극한 = 우극한 = 함숫값을 이용합니다.
네이버 블로그에서는 연속의 세 조건과 불연속의 모습을 그림 중심으로 설명하고, 이 글에서는 실제 식을 이용해 연속과 불연속을 판별하는 문제를 다뤘습니다.
개념 글을 먼저 읽은 뒤 문제 1부터 문제 7까지 직접 풀어보면 연속의 정의가 단순한 암기 공식이 아니라 실제 판별 기준이라는 것을 이해하기 쉬워집니다.
충주에서 초·중·고 수학을 지도하는 곰쌤수학에서는 연속이라는 결과만 외우기보다 함숫값, 좌극한, 우극한, 극한값을 학생이 직접 구분해 설명하도록 지도합니다.
함수의 연속은 이후 미분가능성과 미분계수의 정의를 이해하는 중요한 출발점입니다. 지금부터 문제를 볼 때마다 정의 → 극한 → 일치를 확인하는 습관을 만들어 두세요.
작성·검토: 곰쌤수학
학습 범위: 고등학교 함수의 극한과 연속
최종 업데이트: 2026년 8월 29일
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