최고차항·차수 비교·근호 문제 한 번에 정리
\(x\)가 무한대로 갈 때 분자와 분모가 모두 끝없이 커지면 \(\dfrac{\infty}{\infty}\)꼴이 나타납니다. 하지만 무한대는 숫자가 아니므로 답을 1이라고 할 수 없습니다. 분자와 분모 중 어느 쪽이 더 빠르게 커지는지를 비교해야 합니다.
다음 식에서 \(x\)가 양의 무한대로 가면 분자와 분모가 모두 양의 무한대로 커집니다.
그렇다고 해서 \(\infty\)를 같은 숫자처럼 약분하여 1이라고 할 수는 없습니다. 실제로 이 극한값은 \(\dfrac{3}{2}\)입니다.
분자의 최고차항은 \(3x^2\), 분모의 최고차항은 \(2x^2\)입니다. 두 식이 같은 2차로 커지므로 최고차항의 계수비가 답을 결정합니다.
\(\dfrac{0}{0}\)꼴에서는 인수분해와 유리화로 공통인수를 없앴습니다. 이번 \(\dfrac{\infty}{\infty}\)꼴에서는 최고차항을 기준으로 식 전체의 성장 속도를 비교합니다.
다항식에서 \(x\)의 값이 매우 커지면 가장 높은 차수의 항이 다른 항보다 훨씬 빠르게 커집니다. 예를 들어 다음 다항식을 살펴보겠습니다.
\(x\)가 매우 클 때 \(x^3\)은 \(x^2\), \(x\), 상수보다 훨씬 빠르게 커집니다. 따라서 전체 식의 큰 흐름은 최고차항 \(3x^3\)이 결정합니다.
분모의 차수가 \(n\)차라면 분자와 분모의 모든 항을 \(x^n\)으로 나눕니다. 그러면 낮은 차수의 항은 \(\dfrac{1}{x}\), \(\dfrac{1}{x^2}\)와 같은 형태로 바뀝니다.
결국 낮은 차수의 항은 모두 0으로 사라지고 최고차항의 영향만 남습니다.
분자의 차수를 \(m\), 분모의 차수를 \(n\)이라고 하겠습니다. 유리함수의 무한대 극한은 두 차수의 크기를 비교하면 큰 흐름을 바로 알 수 있습니다.
분모가 더 빠르게 커지므로 분수 전체는 0에 가까워집니다.
최고차항의 차수가 같으므로 최고차항 계수끼리 나눕니다.
분자가 더 빠르게 커집니다. 남는 \(x\)의 차수와 부호를 확인합니다.
분자가 더 빠르게 커지는 것은 맞지만, \(x\to-\infty\)인지, 최고차항의 계수가 양수인지 음수인지, 남는 \(x\)의 차수가 홀수인지 짝수인지에 따라 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산할 수 있습니다.
최고차항 계수의 비 구하기
다음 극한값을 구하세요.
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분자와 분모가 모두 2차식입니다. 따라서 극한값은 최고차항 계수의 비가 될 것으로 예상할 수 있습니다.
분모가 더 빠르게 커지는 경우
다음 극한값을 구하세요.
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분자는 1차이고 분모는 2차입니다. 분모가 더 빠르게 커지므로 극한값은 0이 될 것으로 예상할 수 있습니다.
분자가 더 빠르게 커져 양의 무한대로 발산하는 경우
다음 극한을 조사하세요.
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분자는 3차이고 분모는 2차입니다. 분자가 한 차수 더 높습니다.
분자는 \(2x\)처럼 커지고 분모는 1에 가까워집니다. \(x\to\infty\)이므로 \(2x\to\infty\)입니다.
짝수 제곱은 양수 방향으로 커지고, 홀수 제곱은 \(x\)의 음수 부호를 그대로 유지합니다.
분자의 차수가 높을 때 음수 방향 확인하기
다음 극한을 조사하세요.
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분자는 3차, 분모는 2차이므로 분자가 한 차수 더 높습니다.
분자는 \(x\)처럼 음의 무한대로 내려가고, 분모는 양수 2에 가까워집니다.
\(x\to-\infty\)에서 홀수 차수의 \(x\)가 남으면 음수 방향으로 발산할 수 있습니다.
\(x\to\infty\)이면 \(x>0\)인 범위에서 움직이므로 \(|x|=x\)입니다. 반대로 \(x\to-\infty\)이면 \(x<0\)인 범위에서 움직이므로 \(|x|=-x\)입니다.
x가 양의 무한대로 갈 때 근호 정리하기
다음 극한값을 구하세요.
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\(x\to\infty\)이므로 충분히 큰 \(x\)는 양수입니다. 따라서 \(|x|=x\)입니다.
근호 밖으로 −x가 나오는 경우
다음 극한값을 구하세요.
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\(x\to-\infty\)이므로 \(|x|=-x\)입니다.
\(\sqrt{x^2+x}\)에서 \(x\)를 그대로 꺼내면 안 됩니다. \(x\to-\infty\)에서는 \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\)이므로 근호 밖으로 \(-x\)가 나옵니다.
근호식과 다항식의 차로 이루어진 식은 두 항이 모두 무한히 커지면서 \(\infty-\infty\)꼴 또는 \(\infty+(-\infty)\)꼴이 나타날 수 있습니다. 이런 식은 각 항의 극한을 따로 구해 빼면 안 됩니다.
부호가 반대인 켤레식 \(\sqrt{A}-B\)를 곱해 제곱의 차를 만듭니다.
그러면 덧셈이나 뺄셈 모양이 분수 모양으로 바뀌어 최고차항과 차수 비교를 적용할 수 있습니다.
켤레식을 이용해 ∞/∞꼴로 바꾸기
다음 극한값을 구하세요.
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\(x\to-\infty\)이면 \(\sqrt{x^2-5x+2}\to\infty\)이고 \(x\to-\infty\)입니다. 따라서 그대로는 값을 정할 수 없는 \(\infty-\infty\)꼴입니다.
\(x\to-\infty\)이므로 \(|x|=-x\)입니다.
- 분자와 분모의 최고차수를 확인합니다.
- 분모의 최고차수에 해당하는 \(x^n\)으로 모든 항을 나눕니다.
- 분자 차수가 낮으면 0, 같으면 최고차항 계수의 비를 생각합니다.
- 분자 차수가 높으면 남는 \(x\)의 차수와 부호를 확인합니다.
- \(x\to-\infty\)에서는 홀수·짝수 차수의 부호를 확인합니다.
- 근호에서는 반드시 \(\sqrt{x^2}=|x|\)를 사용합니다.
- \(\infty-\infty\)꼴은 켤레식을 곱해 분수 꼴로 바꿉니다.
| 문제의 모양 | 핵심 방법 | 주의할 점 |
|---|---|---|
| 유리함수의 \(\infty/\infty\)꼴 | 차수 비교 후 최고차수로 나누기 | 낮은 차수 항은 0으로 접근 |
| 분자 차수 < 분모 차수 | 분모의 성장 속도가 더 빠름 | 극한값은 0 |
| 분자 차수 = 분모 차수 | 최고차항 계수의 비 | 차수가 같을 때만 적용 |
| 분자 차수 > 분모 차수 | 남는 \(x\)의 거듭제곱 확인 | 발산 방향과 부호 확인 |
| \(x\to-\infty\) | 홀수·짝수 차수 구분 | 홀수 차수는 음수 부호 유지 |
| 근호 안에 \(x^2\) 포함 | \(\sqrt{x^2}=|x|\) | \(x\to-\infty\)이면 \(|x|=-x\) |
| \(\infty-\infty\)꼴 | 켤레식으로 유리화 | 분수 꼴로 바꾼 뒤 계산 |
무한대는 하나의 숫자가 아니므로 같은 기호를 약분할 수 없습니다. 분자와 분모의 성장 속도를 비교해야 합니다.
최고차항 계수의 비는 분자와 분모의 차수가 같을 때만 사용할 수 있습니다. 차수가 다르면 남는 \(x\)의 거듭제곱까지 확인해야 합니다.
\(x\to-\infty\)이거나 최고차항 계수가 음수이면 음의 무한대로 발산할 수 있습니다.
정확한 공식은 \(\sqrt{x^2}=|x|\)입니다. 특히 \(x\to-\infty\)일 때는 \(|x|=-x\)가 됩니다.
\(\infty-\infty\)도 부정형이므로 그대로 계산할 수 없습니다. 근호식이라면 켤레식을 곱해 식을 변형해야 합니다.
정답표 열기
| 문제 | 핵심 유형 | 정답 |
|---|---|---|
| 문제 1 | 같은 차수의 계수비 | \(\dfrac{3}{2}\) |
| 문제 2 | 분자 차수가 낮음 | \(0\) |
| 문제 3 | 분자 차수가 높음 | \(\infty\) |
| 문제 4 | \(x\to-\infty\) 발산 방향 | \(-\infty\) |
| 문제 5 | 양의 무한대와 근호 | \(\dfrac{2}{3}\) |
| 문제 6 | 음의 무한대와 절댓값 | \(-\dfrac{1}{2}\) |
| 문제 7 | ∞−∞꼴 유리화 | \(\dfrac{5}{2}\) |
- \(\dfrac{\infty}{\infty}\)은 1이 아니라 값을 바로 정할 수 없는 부정형입니다.
- 유리함수의 무한대 극한은 최고차항과 차수 비교가 핵심입니다.
- 분자 차수가 낮으면 0, 같으면 최고차항 계수의 비입니다.
- 분자 차수가 높으면 발산하며 부호를 따로 확인해야 합니다.
- \(x\to-\infty\)에서는 홀수 차수와 짝수 차수의 부호가 달라집니다.
- 근호에서는 \(\sqrt{x^2}=|x|\)를 사용합니다.
- \(x\to-\infty\)이면 \(|x|=-x\)입니다.
- \(\infty-\infty\)꼴은 켤레식을 곱해 분수 꼴로 변형합니다.
Q1. 무한대를 무한대로 나누면 왜 1이 아닌가요?
무한대는 특정한 하나의 숫자가 아니라 끝없이 커지는 상태를 나타냅니다. 분자와 분모가 커지는 속도에 따라 극한값은 0, 유한한 실수, 양의 무한대 또는 음의 무한대가 될 수 있습니다.
Q2. 최고차항의 계수만 나누면 항상 답이 나오나요?
분자와 분모의 차수가 같을 때만 최고차항 계수의 비가 극한값이 됩니다. 차수가 다르면 먼저 어느 쪽의 차수가 더 높은지 확인해야 합니다.
Q3. 분자의 차수가 분모보다 높으면 항상 극한은 ∞인가요?
분수의 절댓값은 대체로 끝없이 커지지만 접근 방향과 최고차항의 부호에 따라 \(\infty\) 또는 \(-\infty\)가 될 수 있습니다.
Q4. x가 음의 무한대로 가도 같은 차수이면 계수비를 사용하나요?
분자와 분모가 같은 차수의 다항식이라면 \(x\to\infty\)와 \(x\to-\infty\) 모두 최고차항 계수의 비로 수렴합니다. 분자와 분모에 같은 거듭제곱이 포함되어 부호가 서로 상쇄되기 때문입니다.
Q5. 근호에서 x를 밖으로 꺼내면 안 되나요?
\(\sqrt{x^2}=|x|\)이므로 항상 \(x\)를 그대로 꺼내면 안 됩니다. \(x\to\infty\)이면 \(|x|=x\), \(x\to-\infty\)이면 \(|x|=-x\)입니다.
Q6. ∞−∞꼴은 어떻게 해결하나요?
근호가 포함된 식이라면 켤레식을 곱해 제곱의 차를 만듭니다. 식을 분수 모양으로 바꾼 뒤 최고차항과 차수 비교를 적용합니다.
네이버 블로그에서는 \(\dfrac{\infty}{\infty}\)꼴의 의미, 최고차항과 차수 비교, 근호에서 절댓값이 필요한 이유를 그림 중심으로 설명하고, 이 글에서는 실제 극한 문제를 유형별로 풀었습니다.
네이버 개념 글을 읽은 뒤 이 글의 문제 1부터 문제 7까지 풀어보면 유리함수와 근호함수의 무한대 극한을 하나의 흐름으로 정리할 수 있습니다.
충주에서 초·중·고 수학을 지도하는 곰쌤수학에서는 공식을 바로 적용하기보다 분자와 분모의 차수, 최고차항의 부호, 함수가 커지는 속도를 먼저 분석하도록 지도합니다.
무한대 극한 문제는 계산이 길어 보이지만 차수와 부호를 먼저 확인하면 답의 방향을 빠르게 예상할 수 있습니다. 특히 근호 문제에서는 \(\sqrt{x^2}=|x|\)를 반드시 확인하세요.
작성·검토: 곰쌤수학
학습 범위: 고등학교 미적분Ⅰ 함수의 극한
최종 업데이트: 2026년 8월 5일
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