고2 미적분1 함수의 극한 - 함수의 수렴 개념 총정리 (그래프·lim·예제)

고등학교 미적분Ⅰ 대표문제

함수의 극한 대표문제 7개
극한값 구하기부터 좌극한·우극한까지

함수의 극한은 복잡한 계산보다 먼저 “x가 가까워질 때 함숫값은 어디로 가까워지는가”를 읽는 것이 중요합니다. 이 글에서는 함수의 수렴을 이해하는 데 꼭 필요한 대표문제 7개를 쉬운 문제부터 차례대로 풀어봅니다.

대상: 고등학교 미적분Ⅰ 입문 문제 수: 7문제 풀이 방식: 버튼형 해설 작성·검토: 곰쌤수학

먼저 답부터 확인하기

함수의 극한은 x가 어떤 값 a에 가까워질 때 f(x)가 어떤 값 L에 가까워지는지를 나타냅니다. 이때 x가 실제로 a가 되는지, f(a)가 얼마인지는 극한값을 판단하는 핵심 조건이 아닙니다.

lim_x→a f(x) = L

읽을 때는 “x가 a로 갈 때, f(x)의 극한은 L이다”라고 읽습니다.

이 글에서 공부할 내용

1. 문제를 풀기 전에 알아둘 핵심 원리
2. 대입으로 구하는 극한값
3. 0/0꼴을 정리하는 방법
4. 함숫값과 극한값의 차이
5. 좌극한과 우극한
6. 극한값이 존재하도록 미정계수 구하기
7. 자주 하는 실수와 FAQ

1. 문제를 풀기 전에 알아둘 핵심 원리

함수의 극한 문제는 무조건 어려운 계산부터 하는 단원이 아닙니다. 먼저 x가 어느 값으로 가까워지는지 확인하고, 그때 함수의 출력값이 어디로 모이는지를 살펴보면 됩니다.

곰쌤 핵심 정리

x → a는 x가 a와 같다는 뜻이 아닙니다. x가 a의 왼쪽과 오른쪽에서 a에 한없이 가까워진다는 뜻입니다.

따라서 극한값을 구할 때는 한 점의 함숫값만 보는 것이 아니라 그 점 주변에서 함수가 보이는 모습을 확인해야 합니다.

문제의 모습	먼저 할 일	대표 유형
그대로 대입해도 계산 가능	주어진 값을 직접 대입	다항함수의 극한
대입하면 0/0꼴	인수분해 또는 유리화	약분이 필요한 극한
함수가 여러 식으로 나뉨	좌극한과 우극한을 따로 계산	구간별 함수
미정계수 k가 포함됨	좌극한과 우극한을 같게 설정	극한의 존재 조건

문제를 푸는 기본 순서

1. x가 가까워지는 값을 확인합니다.
2. 먼저 그 값을 식에 직접 대입해 봅니다.
3. 정상적인 값이 나오면 그 값이 극한값입니다.
4. 0/0꼴이 나오면 식을 인수분해하거나 유리화합니다.
5. 함수가 나뉘어 있으면 좌극한과 우극한을 따로 계산합니다.

2. 먼저 대입해 보는 기본 극한 문제

다항함수처럼 그래프가 끊어지지 않고 자연스럽게 이어지는 함수는 주어진 값을 직접 대입하여 극한값을 구할 수 있습니다. 처음부터 복잡하게 생각하지 말고, 가장 먼저 대입부터 해보세요.

문제 1 기초 · 일차함수

일차함수의 극한값 구하기

다음 극한값을 구하세요.

lim_x→3 (2x − 1)

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1단계｜x가 가까워지는 값 확인

x가 3으로 가까워지고 있습니다.

2단계｜x = 3을 직접 대입 2 × 3 − 1 = 6 − 1 = 5

3단계｜극한의 의미로 확인

x가 2.9, 2.99, 2.999처럼 3의 왼쪽에서 가까워지거나 3.1, 3.01, 3.001처럼 오른쪽에서 가까워질수록 2x − 1의 값은 5에 가까워집니다.

정답: 5

문제 2 기초 · 다항함수

이차식의 극한값 구하기

다음 극한값을 구하세요.

lim_x→−1 (x² − 3x + 2)

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1단계｜직접 대입이 가능한지 확인

x = −1을 대입해도 분모가 0이 되거나 계산할 수 없는 식이 나타나지 않습니다. 따라서 바로 대입합니다.

2단계｜부호에 주의하여 계산 (−1)² − 3(−1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6

자주 하는 실수

(−1)²은 −1이 아니라 1입니다. 음수를 제곱할 때는 반드시 괄호까지 함께 제곱하세요.

정답: 6

3. 대입하면 0/0꼴이 되는 극한 문제

주어진 값을 직접 대입했는데 분자와 분모가 모두 0이 되었다고 해서 극한값이 0이거나 존재하지 않는 것은 아닙니다. 0/0꼴은 식을 한 번 더 정리해야 한다는 신호입니다.

0/0은 답이 아닙니다

0/0은 하나의 수로 정해지는 값이 아닙니다. 인수분해, 약분, 유리화 등을 이용하여 x가 해당 값과 다를 때의 식을 간단히 만들어야 합니다.

문제 3 기본 · 인수분해

인수분해로 0/0꼴 없애기

다음 극한값을 구하세요.

lim_x→4 (x² − 16)/(x − 4)

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1단계｜x = 4를 대입해 보기 (4² − 16)/(4 − 4) = 0/0

0/0꼴이므로 식을 정리해야 합니다.

2단계｜분자를 인수분해 x² − 16 = (x − 4)(x + 4)

3단계｜공통인수 약분 (x − 4)(x + 4)/(x − 4) = x + 4　(x ≠ 4)

극한에서는 x가 4와 같은 경우를 계산하는 것이 아니라 x가 4에 가까워지는 동안의 값을 살펴봅니다. 따라서 x ≠ 4인 주변에서는 x − 4를 약분할 수 있습니다.

4단계｜간단해진 식에 대입 lim_x→4 (x + 4) = 4 + 4 = 8

정답: 8

문제 4 기본 · 유리화

근호가 있는 식의 극한값 구하기

다음 극한값을 구하세요.

lim_x→5 {√(x + 4) − 3}/(x − 5)

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1단계｜x = 5를 대입해 보기 {√9 − 3}/(5 − 5) = 0/0

분자에 근호가 있으므로 켤레식을 이용해 유리화합니다.

2단계｜분자와 분모에 켤레식 곱하기 {√(x + 4) − 3}/(x − 5) × {√(x + 4) + 3}/{√(x + 4) + 3}

3단계｜곱셈공식으로 분자 정리 {(x + 4) − 9}/{(x − 5)(√(x + 4) + 3)} = (x − 5)/{(x − 5)(√(x + 4) + 3)}

4단계｜x − 5를 약분하고 대입 1/{√(x + 4) + 3} lim_x→5 1/{√(x + 4) + 3} = 1/(3 + 3) = 1/6

유리화 판단법

분자나 분모에 √가 있고 직접 대입했을 때 0/0꼴이 나오면, 근호가 있는 부분의 부호를 반대로 바꾼 켤레식을 곱하는 방법을 먼저 생각하세요.

정답: 1/6

문제 1~4 중간 정리

직접 대입하여 값이 나오면 계산을 끝내면 됩니다. 직접 대입했을 때 0/0꼴이 나오면 인수분해나 유리화를 통해 0이 되는 원인을 먼저 없앤 뒤 다시 대입합니다.

4. 극한값과 함숫값은 다를 수 있습니다

함수의 극한을 처음 배울 때 가장 중요한 문제입니다. 극한값은 x = a인 한 점의 값이 아니라, x가 a 주변에서 가까워질 때의 함수 모습으로 결정됩니다.

문제 5 핵심 · 극한값과 함숫값

함숫값이 달라도 극한값이 존재할까?

함수 f(x)가 다음과 같을 때, 극한값과 함숫값을 각각 구하세요.

f(x) =

x + 1	(x ≠ 2)
10	(x = 2)

① lim_x→2 f(x)　　② f(2)

xy23 극한이 향하는 점 실제 함숫값 f(2)

개념을 보여 주기 위한 그림입니다. 뚫린 점은 극한이 가까워지는 위치이고, 채워진 점은 실제 함숫값을 뜻합니다.

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1단계｜x = 2 주변에서 사용하는 식 찾기

x가 2에 가까워지는 동안에는 x가 2와 정확히 같지 않습니다. 따라서 주변에서는 f(x) = x + 1을 사용합니다.

2단계｜극한값 계산 lim_x→2 f(x) = lim_x→2 (x + 1) = 3

3단계｜함숫값 계산

x = 2일 때는 문제에서 따로 정한 두 번째 식을 사용합니다.

f(2) = 10

왜 두 값이 다른가요?

극한값은 x가 2에 가까워질 때의 값이고, 함숫값은 x가 정확히 2일 때 정해진 값입니다. 서로 판단하는 기준이 다르므로 두 값은 다를 수 있습니다.

정답: ① lim_x→2 f(x) = 3　　② f(2) = 10

5. 좌극한과 우극한으로 극한의 존재 판단하기

x가 a로 가까워지는 방법은 두 가지입니다. a보다 작은 값에서 가까워지는 경우를 좌극한, a보다 큰 값에서 가까워지는 경우를 우극한이라고 합니다.

극한값의 존재 조건 lim_x→a− f(x) = lim_x→a＋ f(x)

좌극한과 우극한이 같은 하나의 값으로 모여야 양쪽에서 접근하는 극한값이 존재합니다.

문제 6 핵심 · 극한이 존재하지 않는 경우

좌극한과 우극한이 서로 다른 함수

함수 g(x)가 다음과 같을 때, x → 1에서의 극한값이 존재하는지 확인하세요.

g(x) =

x + 2	(x < 1)
2x + 2	(x > 1)

풀이보기

1단계｜왼쪽에서 1로 가까워질 때

x < 1이므로 첫 번째 식 x + 2를 사용합니다.

lim_x→1− g(x) = lim_x→1− (x + 2) = 3

2단계｜오른쪽에서 1로 가까워질 때

x > 1이므로 두 번째 식 2x + 2를 사용합니다.

lim_x→1＋ g(x) = lim_x→1＋ (2x + 2) = 4

3단계｜두 값을 비교 3 ≠ 4

왼쪽에서는 3으로 가까워지고 오른쪽에서는 4로 가까워집니다. 하나의 값으로 모이지 않으므로 극한값이 존재하지 않습니다.

정답: 좌극한과 우극한이 다르므로 극한값은 존재하지 않습니다.

6. 극한값이 존재하도록 미정계수 구하기

구간별 함수에 k와 같은 미정계수가 포함되어 있고 극한값이 존재한다고 하면, 좌극한과 우극한이 같아야 한다는 조건을 이용합니다.

문제 7 응용 · 미정계수

극한이 존재하도록 k의 값 정하기

함수 h(x)가 다음과 같을 때, x → 2에서 극한값이 존재하도록 하는 상수 k의 값을 구하세요.

h(x) =

kx + 1	(x < 2)
x² − 1	(x ≥ 2)

풀이보기

1단계｜좌극한 계산

x가 2의 왼쪽에서 가까워질 때는 kx + 1을 사용합니다.

lim_x→2− h(x) = 2k + 1

2단계｜우극한 계산

x가 2의 오른쪽에서 가까워질 때는 x² − 1을 사용합니다.

lim_x→2＋ h(x) = 2² − 1 = 3

3단계｜극한의 존재 조건 세우기

극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

2k + 1 = 3

4단계｜방정식 풀기 2k = 2　→　k = 1

함숫값까지 같아야 하나요?

이 문제는 극한값이 존재하는 조건만 묻고 있습니다. 따라서 좌극한과 우극한만 같으면 됩니다. 연속이 되기 위한 조건을 묻는다면 극한값과 h(2)까지 같아야 합니다.

정답: k = 1

7. 함수의 극한에서 자주 하는 실수

실수 1｜x → a를 x = a로 생각하기

x → a는 x가 a와 같다는 뜻이 아니라 a에 한없이 가까워진다는 뜻입니다. 이 차이를 놓치면 극한값과 함숫값을 구분하기 어렵습니다.

실수 2｜0/0을 정답으로 쓰기

0/0꼴은 답이 아니라 식을 더 정리해야 한다는 신호입니다. 인수분해나 유리화를 먼저 확인하세요.

실수 3｜구간별 함수에 같은 식을 사용하기

왼쪽에서 접근할 때와 오른쪽에서 접근할 때 적용되는 식이 다를 수 있습니다. 반드시 부등호를 확인한 뒤 좌극한과 우극한을 따로 구해야 합니다.

실수 4｜함숫값이 없으면 극한값도 없다고 생각하기

한 점에서 함수가 정의되지 않아도 그 점 주변의 함숫값이 하나의 값으로 모이면 극한값은 존재할 수 있습니다.

8. 대표문제 정답 한눈에 보기

정답표 열기

문제	핵심 유형	정답
문제 1	일차함수 직접 대입	5
문제 2	다항함수 직접 대입	6
문제 3	인수분해와 약분	8
문제 4	근호식 유리화	1/6
문제 5	극한값과 함숫값	극한값 3, 함숫값 10
문제 6	좌극한과 우극한 불일치	극한값이 존재하지 않음
문제 7	극한의 존재 조건	k = 1

오늘의 최종 정리

• 함수의 극한은 한 점의 값이 아니라 그 점으로 가까워질 때의 변화를 확인하는 개념입니다.
• 직접 대입하여 값이 나오면 그 값이 극한값입니다.
• 0/0꼴이 나오면 인수분해, 약분, 유리화로 식을 정리합니다.
• 극한값과 함숫값은 서로 다를 수 있습니다.
• 좌극한과 우극한이 같아야 양쪽 극한값이 존재합니다.
• 미정계수 문제는 좌극한과 우극한을 같게 놓고 방정식을 풉니다.

9. 함수의 극한 자주 묻는 질문

Q1. x → a는 x = a와 같은 뜻인가요?

아닙니다. x → a는 x가 a와 같아지는 것이 아니라, a와 다른 값을 유지하면서 a에 한없이 가까워지는 것을 뜻합니다.

Q2. f(a)가 정의되지 않아도 극한값이 존재할 수 있나요?

존재할 수 있습니다. 극한값은 x = a인 한 점의 함숫값보다 x가 a 주변에서 가까워질 때 f(x)가 어디로 모이는지에 따라 결정됩니다.

Q3. 함수의 극한은 항상 직접 대입하면 되나요?

아닙니다. 직접 대입하여 정상적인 값이 나오면 바로 계산할 수 있지만, 0/0꼴이 나오면 인수분해나 유리화가 필요합니다. 구간별 함수는 좌극한과 우극한을 따로 계산해야 합니다.

Q4. 좌극한과 우극한이 왜 같아야 하나요?

x는 a의 왼쪽과 오른쪽 두 방향에서 가까워질 수 있습니다. 두 방향에서 서로 다른 값으로 가까워지면 하나의 극한값을 정할 수 없기 때문입니다.

Q5. 극한값과 함숫값이 같으면 무엇을 의미하나요?

극한값이 존재하고 그 값이 실제 함숫값과 같으면 해당 점에서 함수가 연속일 가능성을 확인할 수 있습니다. 정확한 연속 조건은 다음 단원인 함수의 연속에서 다룹니다.

그림으로 개념을 먼저 공부하고 싶다면

이 글은 대표문제와 풀이를 중심으로 구성했습니다. lim 기호를 읽는 방법과 함수가 한 점으로 수렴하는 모습을 그림으로 확인하려면 곰쌤수학 네이버 블로그의 함수의 극한 개념 글을 함께 읽어보세요.

곰쌤수학 네이버 블로그에서 함수의 극한 개념 보기

곰쌤수학 수업 노트

함수의 극한은 앞으로 배우는 함수의 연속과 미분을 이해하기 위한 출발점입니다. 공식을 외우기 전에 x가 움직이는 방향과 함숫값이 가까워지는 위치를 먼저 생각해 보세요.

충주 곰쌤수학에서는 개념을 짧은 단계로 나누고, 학생이 직접 설명할 수 있을 때까지 그래프와 대표문제를 함께 지도합니다.

작성·검토: 곰쌤수학
학습 범위: 고등학교 미적분Ⅰ 함수의 극한
최종 업데이트: 2026년 7월 29일

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