좌극한·우극한 대표문제 7개｜함수의 극한 존재 조건 완전정리

고등학교 미적분Ⅰ 대표문제 

좌극한·우극한 대표문제 7개
함수의 극한 존재 조건 완전정리

x가 a로 가까워질 때는 왼쪽에서 접근할 수도 있고 오른쪽에서 접근할 수도 있습니다. 두 방향에서 함수가 같은 값으로 가까워져야 전체 극한이 존재합니다. 이 글에서는 좌극한과 우극한을 구하고 비교하는 대표문제 7개를 순서대로 풀어봅니다.

대상: 고등학교 미적분Ⅰ 핵심: 좌극한·우극한 문제 수: 7문제 풀이: 버튼형 해설

좌극한과 우극한의 뜻
lim_x→a− f(x)

x가 a보다 작은 값을 유지하면서 a에 가까워질 때의 극한을 좌극한이라고 합니다.

lim_x→a＋ f(x)

x가 a보다 큰 값을 유지하면서 a에 가까워질 때의 극한을 우극한이라고 합니다.

위첨자 −와 ＋는 계산 기호가 아니라 어느 방향에서 접근하는지를 나타내는 방향 표시입니다.

이 글에서 공부할 내용

1. 좌극한과 우극한의 방향 읽기
2. 극한값이 존재하는 조건
3. 기본 구간별 함수 문제
4. 함숫값과 극한값 비교
5. 무한대로 발산하는 좌우극한
6. 미정계수 구하기
7. 자주 하는 실수와 FAQ

수렴과 발산 개념을 먼저 복습하세요

이 글은 좌극한과 우극한을 직접 계산하는 문제풀이 글입니다. 함수의 수렴, 함수의 발산, 무한대의 뜻이 아직 헷갈린다면 네이버 블로그 개념 글을 먼저 읽은 뒤 문제를 풀어보세요.

곰쌤수학 네이버 블로그에서 극한 개념 복습하기

1. 왼쪽과 오른쪽을 먼저 구분하세요

x → a− 왼쪽에서 접근

x < a인 상태로 a에 가까워집니다. 그래프에서는 a의 왼쪽 가지를 따라갑니다.

x → a＋ 오른쪽에서 접근

x > a인 상태로 a에 가까워집니다. 그래프에서는 a의 오른쪽 가지를 따라갑니다.

−와 ＋는 계산하지 않습니다

x → a−의 −는 a에서 어떤 수를 빼라는 뜻이 아닙니다. a보다 작은 쪽에서 접근한다는 뜻입니다. 같은 방법으로 x → a＋의 ＋는 a보다 큰 쪽에서 접근한다는 뜻입니다.

aLM 왼쪽 가지 오른쪽 가지 좌극한 L 우극한 M

왼쪽 가지가 가까워지는 높이가 좌극한이고, 오른쪽 가지가 가까워지는 높이가 우극한입니다.

2. 극한값이 존재하는 필요충분조건

극한 존재 조건

x → a에서 함수 f(x)의 극한값이 L로 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 두 값이 L로 같아야 합니다.

lim_x→a− f(x) = lim_x→a＋ f(x) = L ⇔ lim_x→a f(x) = L

좌극한	우극한	전체 극한
2	2	2로 존재
1	3	존재하지 않음
∞	∞	양의 무한대로 발산
−∞	∞	하나의 양쪽 극한으로 표현할 수 없음
존재하지 않음	2	존재하지 않음

문제풀이 순서

1. 기준이 되는 x값 a를 찾습니다.
2. x < a에서 사용하는 식으로 좌극한을 구합니다.
3. x > a에서 사용하는 식으로 우극한을 구합니다.
4. 두 값이 같은지 비교합니다.
5. 같으면 극한이 존재하고, 다르면 존재하지 않습니다.

 

 

3. 구간별 함수의 좌극한과 우극한

문제 1 기초 · 극한이 존재하는 경우

좌극한과 우극한이 같은 함수

함수 f(x)가 다음과 같을 때, x → 2에서의 좌극한, 우극한과 전체 극한을 구하세요.

f(x) =

2x − 1	(x < 2)
x + 1	(x > 2)

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1단계｜좌극한을 구합니다

x가 2의 왼쪽에서 가까워질 때는 x < 2이므로 첫 번째 식 2x − 1을 사용합니다.

lim_x→2− f(x) = 2 × 2 − 1 = 3

2단계｜우극한을 구합니다

x가 2의 오른쪽에서 가까워질 때는 x > 2이므로 두 번째 식 x + 1을 사용합니다.

lim_x→2＋ f(x) = 2 + 1 = 3

3단계｜두 값을 비교합니다 좌극한 = 우극한 = 3

양쪽에서 모두 3으로 가까워지므로 전체 극한이 존재합니다.

정답: 좌극한 3, 우극한 3, 전체 극한 3

문제 2 기초 · 극한이 존재하지 않는 경우

왼쪽과 오른쪽의 높이가 다른 함수

함수 g(x)가 다음과 같을 때, x → 1에서의 극한을 조사하세요.

g(x) =

x + 2	(x < 1)
2x + 2	(x > 1)

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1단계｜좌극한 lim_x→1− g(x) = 1 + 2 = 3

2단계｜우극한 lim_x→1＋ g(x) = 2 × 1 + 2 = 4

3단계｜비교 3 ≠ 4

왼쪽에서는 3으로, 오른쪽에서는 4로 가까워집니다. 두 값이 다르므로 양쪽 극한은 존재하지 않습니다.

정답: 좌극한은 3, 우극한은 4이므로 전체 극한은 존재하지 않습니다.

문제 3 기본 · 부호와 절댓값

절댓값 함수의 좌극한과 우극한

다음 좌극한과 우극한을 각각 구하세요.

lim_x→0− |x| x lim_x→0＋ |x| x

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1단계｜x가 음수일 때 절댓값을 정리합니다

x < 0이면 |x| = −x입니다.

|x| x = −x x = −1 lim_x→0− |x|/x = −1

2단계｜x가 양수일 때 절댓값을 정리합니다

x > 0이면 |x| = x입니다.

|x| x = x x = 1 lim_x→0＋ |x|/x = 1

3단계｜두 값을 비교합니다

좌극한은 −1, 우극한은 1로 서로 다릅니다.

절댓값은 방향에 따라 식이 달라집니다

절댓값이 포함된 문제에서는 기준점의 왼쪽과 오른쪽에서 절댓값 안의 식이 양수인지 음수인지 먼저 확인해야 합니다.

정답: 좌극한 −1, 우극한 1, 전체 극한은 존재하지 않습니다.

4. 함숫값과 극한값은 따로 판단합니다

문제 4 핵심 · 함숫값과 극한값

한 점의 함숫값이 달라도 극한은 존재할까?

함수 h(x)가 다음과 같을 때, x → 3에서의 극한값과 h(3)을 각각 구하세요.

h(x) =

x − 1	(x < 3)
7	(x = 3)
5 − x	(x > 3)

풀이보기

1단계｜좌극한 lim_x→3− h(x) = 3 − 1 = 2

2단계｜우극한 lim_x→3＋ h(x) = 5 − 3 = 2

3단계｜전체 극한

좌극한과 우극한이 모두 2이므로 전체 극한은 2입니다.

lim_x→3 h(x) = 2

4단계｜함숫값

x = 3일 때는 따로 주어진 값을 사용합니다.

h(3) = 7

극한값은 주변, 함숫값은 한 점

극한값은 x가 3에 가까워질 때의 함수 모습을 보고, h(3)은 x가 정확히 3일 때의 값을 봅니다. 따라서 두 값은 서로 다를 수 있습니다.

정답: 극한값은 2, 함숫값 h(3)은 7

 

5. 무한대로 발산하는 좌극한과 우극한

문제 5 기본 · 서로 반대 방향으로 발산

왼쪽은 음의 무한대, 오른쪽은 양의 무한대

다음 좌극한과 우극한을 구하고 전체 극한을 조사하세요.

f(x) = 1 x − 2

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1단계｜왼쪽에서 접근합니다

x가 2보다 작은 상태로 2에 가까워지면 x − 2는 0에 가까운 음수입니다.

lim_x→2− 1/(x − 2) = −∞

2단계｜오른쪽에서 접근합니다

x가 2보다 큰 상태로 2에 가까워지면 x − 2는 0에 가까운 양수입니다.

lim_x→2＋ 1/(x − 2) = ∞

3단계｜방향을 비교합니다

왼쪽과 오른쪽에서 서로 반대 방향으로 발산하므로 하나의 양쪽 극한으로 나타낼 수 없습니다.

정답: 좌극한은 −∞, 우극한은 ∞이며 전체 극한은 존재하지 않습니다.

문제 6 기본 · 같은 방향으로 발산

양쪽에서 모두 양의 무한대로 발산하는 함수

다음 좌극한과 우극한을 구하세요.

g(x) = 3 (x + 1)²

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1단계｜분모의 부호를 확인합니다

(x + 1)²은 x가 −1의 왼쪽에 있든 오른쪽에 있든 항상 양수입니다. x가 −1에 가까워질수록 분모는 0에 가까운 양수가 됩니다.

2단계｜좌극한 lim_x→−1− 3/(x + 1)² = ∞

3단계｜우극한 lim_x→−1＋ 3/(x + 1)² = ∞

4단계｜양쪽 방향을 비교합니다

양쪽에서 모두 양의 무한대로 발산합니다.

lim_x→−1 3/(x + 1)² = ∞

유한한 극한값이 존재한다는 뜻은 아닙니다

∞는 실수가 아닙니다. 따라서 함수가 하나의 유한한 실수에 수렴하는 것은 아니며, 양쪽에서 같은 방향인 양의 무한대로 발산한다는 뜻입니다.

정답: 좌극한과 우극한은 모두 ∞이며, 양의 무한대로 발산합니다.

6. 극한이 존재하도록 미정계수 구하기

문제 7 응용 · 미정계수

좌극한과 우극한을 같게 만드는 k의 값

함수 p(x)가 다음과 같을 때, x → 2에서 극한값이 존재하도록 하는 상수 k의 값을 구하세요.

p(x) =

kx − 1	(x < 2)
x² + 1	(x > 2)

풀이보기

1단계｜좌극한을 구합니다 lim_x→2− p(x) = 2k − 1

2단계｜우극한을 구합니다 lim_x→2＋ p(x) = 2² + 1 = 5

3단계｜극한의 존재 조건을 세웁니다

전체 극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

2k − 1 = 5

4단계｜방정식을 풉니다 2k = 6 k = 3

미정계수 문제의 핵심

“극한값이 존재하도록”이라는 조건이 나오면 가장 먼저 좌극한과 우극한을 같게 놓으세요.

정답: k = 3

7. 좌극한·우극한에서 자주 하는 실수

실수 1｜왼쪽 식과 오른쪽 식을 바꾸어 사용하기

x → a−에서는 x < a에 해당하는 식을 사용하고, x → a＋에서는 x > a에 해당하는 식을 사용합니다.

실수 2｜좌극한과 우극한을 구하지 않고 바로 대입하기

구간별 함수나 절댓값 함수는 왼쪽과 오른쪽에서 식이 달라질 수 있습니다. 한 번의 대입으로 전체 극한을 판단하면 안 됩니다.

실수 3｜함숫값과 극한값을 같다고 생각하기

함수가 x = a에서 어떤 값을 가지는지는 좌극한과 우극한을 구하는 과정에 직접적인 영향을 주지 않습니다. 극한값은 a 주변의 함수 모습을 보고 판단합니다.

실수 4｜좌극한과 우극한이 모두 존재하면 전체 극한도 존재한다고 생각하기

좌극한과 우극한이 각각 존재하더라도 두 값이 서로 다르면 전체 극한은 존재하지 않습니다.

8. 대표문제 정답 한눈에 보기

정답표 열기

문제	핵심 유형	정답
문제 1	좌우극한 일치	전체 극한 3
문제 2	좌우극한 불일치	극한 존재하지 않음
문제 3	절댓값 함수	좌극한 −1, 우극한 1
문제 4	극한값과 함숫값	극한값 2, 함숫값 7
문제 5	반대 방향 발산	좌극한 −∞, 우극한 ∞
문제 6	같은 방향 발산	양의 무한대로 발산
문제 7	미정계수	k = 3

오늘의 최종 정리

• x → a−는 a의 왼쪽에서 접근하는 좌극한입니다.
• x → a＋는 a의 오른쪽에서 접근하는 우극한입니다.
• 위첨자 −와 ＋는 계산 기호가 아니라 방향 표시입니다.
• 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같아야 전체 극한이 존재합니다.
• 좌극한과 우극한이 다르면 전체 극한은 존재하지 않습니다.
• 함숫값과 극한값은 서로 다를 수 있습니다.
• 미정계수 문제는 좌극한과 우극한을 같게 놓고 풉니다.

9. 좌극한과 우극한 자주 묻는 질문

Q1. x → a−의 −는 음수를 뜻하나요?

음수를 뜻하는 것이 아닙니다. x가 a보다 작은 값에서 a로 가까워진다는 방향을 나타냅니다.

Q2. 좌극한과 우극한이 같으면 항상 극한이 존재하나요?

두 값이 유한한 같은 실수라면 그 값으로 전체 극한이 존재합니다. 양쪽이 모두 ∞이면 유한한 극한값이 존재하는 것은 아니고, 양의 무한대로 발산한다고 표현합니다.

Q3. 함수가 x = a에서 정의되지 않아도 극한이 존재할 수 있나요?

가능합니다. 극한은 x가 a에 가까워질 때의 함수 모습을 확인하는 개념이므로 f(a)가 정의되지 않아도 좌극한과 우극한이 같은 값이면 극한은 존재할 수 있습니다.

Q4. 좌극한과 우극한이 다르면 왜 극한이 존재하지 않나요?

같은 점으로 접근했는데 방향에 따라 서로 다른 값에 가까워진다면 함수가 하나의 값으로 모인다고 말할 수 없기 때문입니다.

Q5. 극한이 존재하면 함숫값도 극한값과 같나요?

반드시 같지는 않습니다. 극한값과 함숫값까지 같아야 해당 점에서 함수가 연속입니다.

네이버 개념 글과 티스토리 문제풀이를 연결하세요 ```

네이버 블로그에서는 좌극한과 우극한의 방향과 그래프를 그림 중심으로 설명하고, 이 글에서는 실제 식을 이용해 극한의 존재 여부를 판단했습니다.

네이버 개념 글을 읽은 뒤 이 글의 대표문제 7개를 순서대로 풀면 함수의 연속을 배우기 위한 기초까지 자연스럽게 준비할 수 있습니다.

곰쌤수학 네이버 블로그에서 좌극한·우극한 개념 보기

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충주에서 초·중·고 수학을 지도하는 곰쌤수학에서는 공식만 암기하는 수업보다 그래프의 방향과 식의 변화를 연결하여 학생이 풀이 이유를 스스로 설명할 수 있도록 지도합니다.

좌극한과 우극한을 정확히 구분하면 다음 단원인 함수의 연속에서 극한값과 함숫값을 비교하는 과정도 훨씬 쉬워집니다.

작성·검토: 곰쌤수학
학습 범위: 고등학교 미적분Ⅰ 함수의 극한
최종 업데이트: 2026년 8월 1일

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