함수의 발산 대표문제 7개양의 무한대와 음의 무한대 판별하기-고2 미적분

고등학교 미적분Ⅰ 대표문제 

함수의 발산 대표문제 7개
양의 무한대와 음의 무한대 판별하기

분모가 0에 가까워진다고 해서 무조건 양의 무한대가 되는 것은 아닙니다. 분자와 분모의 부호, 제곱의 유무, 왼쪽과 오른쪽에서 접근하는 방향을 확인해야 함수가 위로 솟는지 아래로 떨어지는지 정확하게 판단할 수 있습니다.

대상: 고등학교 미적분Ⅰ 핵심: 함수의 발산 문제 수: 7문제 풀이: 버튼형 해설

함수의 발산이란?

x가 a에 가까워질 때 f(x)가 일정한 실수에 수렴하지 않으면 함수가 발산한다고 합니다. 그중에서 f(x)가 위로 끝없이 커지는 경우를 양의 무한대로 발산, 아래로 끝없이 내려가는 경우를 음의 무한대로 발산한다고 합니다.

lim_x→a f(x) = ∞ lim_x→a f(x) = −∞

여기서 ∞는 어떤 하나의 숫자가 아닙니다. 함숫값이 위쪽으로 끝없이 커지는 상태를 나타내는 기호입니다.

이 글에서 공부할 내용

1. 발산 문제의 핵심 판별 원리
2. 분모가 제곱인 기본 문제
3. 분자의 부호까지 확인하는 문제
4. 좌극한과 우극한이 달라지는 문제
5. 미정계수 범위 구하기
6. 자주 하는 실수와 FAQ

함수의 수렴 개념부터 복습하세요

이 글은 함수의 발산을 판별하는 문제풀이 글입니다. x가 a로 갈 때 f(x)가 하나의 값 L에 모이는 함수의 수렴과 lim 기호의 뜻이 아직 헷갈린다면 네이버 블로그 개념 글을 먼저 확인하세요.

곰쌤수학 네이버 블로그에서 함수의 수렴 개념 보기

1. 발산 문제는 부호를 먼저 확인합니다

함수가 양의 무한대로 갈지 음의 무한대로 갈지는 그래프를 직접 그리지 않아도 판단할 수 있습니다. 핵심은 x가 a에 가까워질 때 식 전체가 양수인지 음수인지 확인하는 것입니다.

＋∞ ↑ 식 전체가 양수

절댓값이 끝없이 커지면서 양수이면 그래프가 위로 올라갑니다.

−∞ ↓ 식 전체가 음수

절댓값이 끝없이 커지면서 음수이면 그래프가 아래로 내려갑니다.

함수의 발산 3단계 판별법

1. 분모가 0에 가까워지는지 확인합니다.
2. 분자와 분모의 부호를 각각 확인합니다.
3. 식 전체가 양수이면 ∞, 음수이면 −∞로 판단합니다.

식의 상태	판단	결과
양수 ÷ 아주 작은 양수	큰 양수	∞
음수 ÷ 아주 작은 양수	큰 음수	−∞
양수 ÷ 왼쪽의 작은 음수	큰 음수	−∞
양수 ÷ 오른쪽의 작은 양수	큰 양수	∞

분모가 제곱이면 판단이 쉬워집니다

(x − a)²은 x가 a의 왼쪽에서 가까워지든 오른쪽에서 가까워지든 항상 양수입니다. 따라서 분모가 제곱인 문제에서는 대체로 분자의 부호가 위·아래 방향을 결정합니다.

양의 무한대로 발산 axy∞ 음의 무한대로 발산 axy−∞

점선 x = a에 가까워질수록 그래프가 위로 치솟으면 양의 무한대, 아래로 떨어지면 음의 무한대로 발산합니다.

 

 

2. 분모가 제곱인 기본 발산 문제

문제 1 기초 · 양의 무한대

분모가 양의 방향으로 0에 가까워지는 경우

다음 극한을 조사하세요.

lim_x→3 2 (x − 3)²

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1단계｜분모의 변화를 확인합니다

x가 3에 가까워지면 x − 3은 0에 가까워집니다. 이를 제곱한 (x − 3)²은 0에 가까워지지만 항상 양수입니다.

2단계｜식 전체의 부호를 판단합니다

분자 2는 양수이고 분모도 양수입니다. 따라서 식 전체는 양수입니다.

3단계｜크기의 변화를 판단합니다

양수 2를 0에 가까운 아주 작은 양수로 나누면 결과는 양수인 채로 끝없이 커집니다.

양수 ÷ 아주 작은 양수 → 큰 양수

정답: lim_x→3 2/(x − 3)² = ∞

문제 2 기초 · 음의 무한대

분자에 음수가 붙어 있는 경우

다음 극한을 조사하세요.

lim_x→−1 −5 (x + 1)²

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1단계｜분모의 부호를 확인합니다

(x + 1)²은 제곱이므로 x가 −1의 어느 방향에서 가까워져도 양수입니다. 다만 그 값은 0에 한없이 가까워집니다.

2단계｜식 전체의 부호를 확인합니다

분자는 −5로 음수이고 분모는 양수입니다. 따라서 식 전체는 항상 음수입니다.

3단계｜발산 방향을 결정합니다 음수 ÷ 아주 작은 양수 → 큰 음수

함숫값이 음수인 채로 아래쪽으로 끝없이 내려가므로 음의 무한대로 발산합니다.

정답: lim_x→−1 −5/(x + 1)² = −∞

문제 1과 문제 2의 차이

두 문제 모두 분모는 제곱이므로 0의 양의 방향으로 가까워집니다. 결국 위로 올라갈지 아래로 내려갈지는 분자의 부호가 결정합니다.

3. 분자의 부호까지 확인하는 발산 문제

문제 3 기본 · 분자 대입

분자가 문자식으로 주어진 경우

다음 극한을 조사하세요.

lim_x→2 x + 4 (x − 2)²

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1단계｜분자가 가까워지는 값을 확인합니다 x + 4 → 2 + 4 = 6

x가 2 근처에 있을 때 분자는 6에 가까운 양수입니다.

2단계｜분모의 부호를 확인합니다

(x − 2)²은 항상 양수이며 0에 가까워집니다.

3단계｜전체 부호와 크기를 판단합니다 6에 가까운 양수 ÷ 아주 작은 양수 → ∞

정답: lim_x→2 (x + 4)/(x − 2)² = ∞

문제 4 기본 · 음수 판별

분자가 음수에 가까워지는 경우

다음 극한을 조사하세요.

lim_x→−2 x − 1 (x + 2)²

풀이보기

1단계｜분자의 부호를 판단합니다 x − 1 → −2 − 1 = −3

x가 −2에 가까워질 때 분자는 −3에 가까운 음수입니다.

2단계｜분모의 부호를 판단합니다

(x + 2)²은 항상 양수이며 0에 가까워집니다.

3단계｜발산 방향을 결정합니다 −3에 가까운 음수 ÷ 아주 작은 양수 → −∞

분모만 보고 판단하면 안 됩니다

분모가 제곱이라고 해서 항상 양의 무한대가 되는 것은 아닙니다. 분모가 양수일 때는 분자의 부호가 식 전체의 부호가 됩니다.

정답: lim_x→−2 (x − 1)/(x + 2)² = −∞

 

4. 접근 방향에 따라 부호가 달라지는 문제

분모가 (x − a)처럼 1제곱으로 되어 있으면 왼쪽과 오른쪽에서 부호가 달라질 수 있습니다. 이때는 반드시 좌극한과 우극한을 따로 계산해야 합니다.

x − a의 부호
x → a−일 때 x − a < 0 x → a＋일 때 x − a > 0

a의 왼쪽에서는 x가 a보다 작으므로 x − a는 음수이고, 오른쪽에서는 x가 a보다 크므로 x − a는 양수입니다.

문제 5 핵심 · 좌우 방향

왼쪽과 오른쪽에서 서로 다른 방향으로 발산하는 함수

다음 좌극한과 우극한을 각각 구하고, 양쪽 극한을 조사하세요.

f(x) = 1 x − 1 ① lim_x→1− f(x)    ② lim_x→1＋ f(x)    ③ lim_x→1 f(x)

풀이보기

1단계｜왼쪽에서 접근합니다

x가 1보다 작은 값에서 1로 가까워지면 x − 1은 0에 가까운 음수가 됩니다.

양수 1 ÷ 아주 작은 음수 → −∞ lim_x→1− 1/(x − 1) = −∞

2단계｜오른쪽에서 접근합니다

x가 1보다 큰 값에서 1로 가까워지면 x − 1은 0에 가까운 양수가 됩니다.

양수 1 ÷ 아주 작은 양수 → ∞ lim_x→1＋ 1/(x − 1) = ∞

3단계｜좌극한과 우극한을 비교합니다

왼쪽에서는 −∞, 오른쪽에서는 ∞로 향합니다. 두 방향의 결과가 같지 않으므로 양쪽 극한을 하나로 정할 수 없습니다.

정답: ① −∞　② ∞　③ 양쪽 극한은 존재하지 않습니다.

문제 6 응용 · 약분과 방향

먼저 약분한 뒤 좌극한과 우극한 판단하기

다음 좌극한과 우극한을 각각 구하세요.

lim_x→2− x − 2 (x − 2)² lim_x→2＋ x − 2 (x − 2)²

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1단계｜x ≠ 2인 주변에서 약분합니다 x − 2 (x − 2)² = 1 x − 2  (x ≠ 2)

극한은 x가 2와 같을 때가 아니라 2에 가까워질 때를 조사하므로 x ≠ 2인 주변에서 약분할 수 있습니다.

2단계｜왼쪽에서 접근합니다

x → 2−이면 x − 2는 0에 가까운 음수입니다.

lim_x→2− 1/(x − 2) = −∞

3단계｜오른쪽에서 접근합니다

x → 2＋이면 x − 2는 0에 가까운 양수입니다.

lim_x→2＋ 1/(x − 2) = ∞

제곱이 사라졌다는 점에 주의하세요

처음 식의 분모에는 제곱이 있지만 분자와 약분하면 최종적으로 1/(x − 2)가 됩니다. 따라서 왼쪽과 오른쪽의 부호가 달라집니다.

정답: 좌극한은 −∞, 우극한은 ∞입니다.

∞와 −∞가 다르면 하나의 극한이 아닙니다

왼쪽에서 −∞, 오른쪽에서 ∞가 나온 경우 두 방향 모두 절댓값이 커진다는 공통점은 있습니다. 그러나 그래프가 향하는 방향이 서로 다르므로 양쪽 극한을 하나로 나타낼 수 없습니다.

5. 발산 방향으로 미정계수 범위 구하기

문제 7 응용 · 미정계수

양의 무한대로 발산하도록 하는 k의 범위

다음 함수가 x → −1일 때 양의 무한대로 발산하도록 하는 상수 k의 값의 범위를 구하세요.

f(x) = k − 3 (x + 1)²

풀이보기

1단계｜분모의 상태를 확인합니다

x가 −1로 가까워지면 (x + 1)²은 양수인 상태로 0에 가까워집니다.

2단계｜양의 무한대가 되기 위한 조건을 세웁니다

분모가 양수이므로 식 전체가 양수가 되려면 분자 k − 3이 양수여야 합니다.

k − 3 > 0

3단계｜부등식을 풉니다 k > 3

k = 3은 포함되지 않습니다

k = 3이면 분자가 0이 되어 x ≠ −1에서 함수값이 0이 됩니다. 따라서 양의 무한대로 발산하지 않습니다.

정답: k > 3

6. 함수의 발산에서 자주 하는 실수

실수 1｜∞를 매우 큰 숫자로 생각하기

∞는 어떤 특정한 숫자가 아닙니다. 함숫값이 위쪽으로 제한 없이 커지는 상태를 나타내는 기호입니다.

실수 2｜분모가 0이면 무조건 ∞라고 쓰기

분모가 0에 가까워져도 식 전체가 음수이면 −∞가 됩니다. 또한 왼쪽과 오른쪽에서 부호가 달라지면 양쪽 극한이 존재하지 않을 수 있습니다.

실수 3｜제곱인 분모와 1제곱인 분모를 같게 보기

(x − a)²은 양쪽에서 모두 양수이지만, x − a는 왼쪽에서 음수이고 오른쪽에서 양수입니다.

실수 4｜−∞를 절댓값이 작아지는 상태로 이해하기

−∞로 갈수록 수 자체는 작아지지만 절댓값은 계속 커집니다. 예를 들어 −10, −100, −1000은 아래로 내려가면서 절댓값은 커지고 있습니다.

7. 대표문제 정답 한눈에 보기

정답표 열기

문제	핵심 유형	정답
문제 1	양수와 제곱 분모	∞
문제 2	음수와 제곱 분모	−∞
문제 3	분자가 양수로 접근	∞
문제 4	분자가 음수로 접근	−∞
문제 5	좌우 부호 변화	좌극한 −∞, 우극한 ∞
문제 6	약분 후 좌우극한	좌극한 −∞, 우극한 ∞
문제 7	미정계수 범위	k > 3

 

오늘의 최종 정리

• 함숫값이 위로 끝없이 커지면 양의 무한대로 발산합니다.
• 함숫값이 아래로 끝없이 내려가면 음의 무한대로 발산합니다.
• ∞는 숫자가 아니라 끝없이 커지는 상태를 나타내는 기호입니다.
• 분모가 제곱이면 양쪽에서 항상 양수입니다.
• 분모가 1제곱이면 왼쪽과 오른쪽의 부호가 달라질 수 있습니다.
• 양의 무한대인지 음의 무한대인지는 식 전체의 부호가 결정합니다.
• 좌극한과 우극한이 서로 다르면 양쪽 극한은 존재하지 않습니다.

8. 함수의 발산 자주 묻는 질문

Q1. 무한대는 하나의 숫자인가요?

아닙니다. ∞는 어떤 특정한 실수가 아니라 값이 위쪽으로 끝없이 커지는 상태를 나타내는 기호입니다.

Q2. 분모가 0에 가까워지면 항상 양의 무한대인가요?

아닙니다. 분자와 분모의 부호에 따라 양의 무한대 또는 음의 무한대가 될 수 있습니다. 왼쪽과 오른쪽의 부호가 다르면 양쪽 극한이 존재하지 않을 수도 있습니다.

Q3. 분모가 제곱이면 왜 양쪽 부호가 같나요?

0이 아닌 실수를 제곱하면 항상 양수가 되기 때문입니다. 따라서 (x − a)²은 x가 a의 왼쪽에 있든 오른쪽에 있든 양수입니다.

Q4. 좌극한이 −∞이고 우극한이 ∞이면 발산한다고 쓰면 되나요?

함수가 수렴하지 않는다는 의미에서는 발산한다고 할 수 있습니다. 다만 양쪽에서 같은 방향으로 향하지 않으므로 lim_x→a f(x) = ∞ 또는 −∞라고 하나로 쓰면 안 됩니다.

Q5. 함수가 무한대로 발산하면 극한값이 존재하는 것인가요?

유한한 실수인 극한값이 존재하는 것은 아닙니다. lim f(x) = ∞라는 표기는 함수가 특정 실수에 수렴한다는 뜻이 아니라 양의 무한대로 발산한다는 뜻입니다.

개념 글과 문제풀이 글을 함께 공부하세요

네이버 블로그에서는 함수의 발산과 무한대의 의미를 그림 중심으로 설명하고, 이 글에서는 부호를 이용해 양의 무한대와 음의 무한대를 판별하는 문제를 다루었습니다.

개념을 먼저 읽은 뒤 문제 1부터 문제 7까지 순서대로 풀면 함수가 어느 방향으로 발산하는지 훨씬 쉽게 판단할 수 있습니다.

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충주에서 초·중·고 수학을 지도하는 곰쌤수학에서는 공식을 바로 외우게 하기보다 그래프, 부호, 식의 변화를 연결하여 학생이 스스로 풀이 이유를 설명할 수 있도록 지도합니다.

함수의 수렴과 발산을 정확하게 구분하면 다음에 배우는 좌극한과 우극한, 함수의 연속, 미분 개념도 훨씬 자연스럽게 이어집니다.

작성·검토: 곰쌤수학
학습 범위: 고등학교 미적분Ⅰ 함수의 극한
최종 업데이트: 2026년 7월 30일

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