함수 극한의 성질 계산법｜상수배부터 몫까지 실전 7문제

고등학교 미적분Ⅰ 문제풀이 

함수 극한의 성질 계산법
상수배부터 몫까지 실전 7문제

두 함수의 극한값이 이미 주어졌다면 복잡한 함수를 처음부터 다시 조사할 필요가 없습니다. 함수를 각각의 극한값으로 바꾼 뒤 사칙연산하면 됩니다. 이 글에서는 상수배, 합, 차, 곱, 몫의 성질을 실제 문제에 적용하는 방법을 순서대로 익혀봅니다.

범위: 미적분Ⅰ 함수의 극한 핵심: 극한의 사칙연산 문제 수: 7문제 풀이: 클릭형 해설

복잡한 함수도 극한값으로 먼저 바꾸세요

다음과 같이 두 함수의 극한이 존재한다고 하겠습니다.

\[ \lim_{x \to a} f(x)=L, \qquad \lim_{x \to a} g(x)=M \]

이때 합, 차, 곱, 몫으로 이루어진 식은 \(f(x)\)를 \(L\)로, \(g(x)\)를 \(M\)으로 바꾼 뒤 계산할 수 있습니다.

\[ \text{함수의 식} \;\longrightarrow\; \text{극한값 }L,\;M \;\longrightarrow\; \text{숫자 계산} \]

이 글에서 공부할 내용

1. 극한의 성질 다섯 가지
2. 상수배·합·차 계산
3. 곱의 성질 활용
4. 몫의 성질과 분모 조건
5. 여러 성질이 섞인 종합 문제
6. 분모의 극한이 0인 경우
7. 자주 하는 실수와 FAQ

함수의 수렴과 극한값이 아직 헷갈린다면

이 글은 함수의 극한값이 이미 존재한다는 조건에서 사칙연산의 성질을 적용하는 문제풀이 글입니다. 함수의 수렴, 발산, 좌극한과 우극한을 먼저 복습하면 계산 원리를 더 쉽게 이해할 수 있습니다.

곰쌤수학 네이버 블로그에서 함수의 극한 개념 복습하기

1. 극한의 성질 다섯 가지

다음에서 \(c\)는 상수이고, 두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)의 극한값은 각각 \(L\), \(M\)이라고 하겠습니다.

① 상수배의 성질

\[ \lim_{x \to a} c f(x) = cL \]

② 합의 성질

\[ \lim_{x \to a}\{f(x)+g(x)\} = L+M \]

③ 차의 성질

\[ \lim_{x \to a}\{f(x)-g(x)\} = L-M \]

④ 곱의 성질

\[ \lim_{x \to a} f(x)g(x) = LM \]

⑤ 몫의 성질

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \qquad (M \ne 0) \]

 

몫의 성질에는 조건이 있습니다

분모에 있는 함수 \(g(x)\)의 극한값 \(M\)이 0이 아니어야 합니다. \(M=0\)이면 분모에 바로 0을 넣어 계산할 수 없으며, 약분이나 유리화처럼 다른 방법이 필요한지 다시 살펴봐야 합니다.

곰쌤의 한 줄 풀이 원칙

\[ f(x)\to L, \qquad g(x)\to M \]

문제의 식에 있는 \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 각각 \(L\), \(M\)으로 바꾼 뒤 괄호와 계산 순서를 지켜 계산하면 됩니다.

 

 

2. 상수배·합·차를 계산하는 기본 문제

문제 1 기초 · 상수배와 합

함수 두 개를 극한값으로 바꾸기

다음이 성립할 때 주어진 극한값을 구하세요.

\[ \lim_{x \to a} f(x)=3, \qquad \lim_{x \to a} g(x)=-2 \]

\[ \lim_{x \to a}\{4f(x)+g(x)\} \]

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1단계｜각 함수를 극한값으로 바꿉니다

\(f(x)\)의 극한값은 3이고, \(g(x)\)의 극한값은 −2입니다.

\[ 4f(x)+g(x) \;\longrightarrow\; 4\cdot3+(-2) \]

2단계｜숫자를 계산합니다

\[ 12-2=10 \]

정답: \(10\)

문제 2 기초 · 차의 계산

뺄셈의 순서와 음수 부호 확인하기

다음이 성립할 때 주어진 극한값을 구하세요.

\[ \lim_{x \to 2} f(x)=-1, \qquad \lim_{x \to 2} g(x)=5 \]

\[ \lim_{x \to 2}\{2g(x)-3f(x)\} \]

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1단계｜주어진 순서대로 대입합니다

\[ 2g(x)-3f(x) \;\longrightarrow\; 2\cdot5-3\cdot(-1) \]

2단계｜음수 부호까지 계산합니다

\[ 10-(-3)=13 \]

자주 하는 실수

\(-3f(x)\)에 \(f(x)\to-1\)을 대입하면 \(-3\times(-1)=3\)입니다. 음수와 음수를 곱하면 양수가 된다는 점을 확인하세요.

정답: \(13\)

3. 곱의 성질을 적용하는 문제

문제 3 기본 · 두 괄호의 곱

괄호 안을 먼저 계산한 뒤 곱하기

다음이 성립할 때 주어진 극한값을 구하세요.

\[ \lim_{x \to a} f(x)=4, \qquad \lim_{x \to a} g(x)=-3 \]

\[ \lim_{x \to a} \{f(x)-1\}\{g(x)+2\} \]

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1단계｜첫 번째 괄호의 극한을 구합니다

\[ \lim_{x \to a}\{f(x)-1\} = 4-1 = 3 \]

2단계｜두 번째 괄호의 극한을 구합니다

\[ \lim_{x \to a}\{g(x)+2\} = -3+2 = -1 \]

3단계｜두 값을 곱합니다

\[ 3\cdot(-1)=-3 \]

정답: \(-3\)

문제 4 기본 · 제곱식

같은 함수를 두 번 곱한 극한

다음이 성립할 때 주어진 극한값을 구하세요.

\[ \lim_{x \to -1} f(x)=-2, \qquad \lim_{x \to -1} g(x)=3 \]

\[ \lim_{x \to -1} \{f(x)^2+2f(x)g(x)\} \]

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1단계｜각 함수를 극한값으로 바꿉니다

\[ f(x)^2+2f(x)g(x) \;\longrightarrow\; (-2)^2+2(-2)(3) \]

2단계｜제곱과 곱셈부터 계산합니다

\[ 4-12=-8 \]

제곱은 괄호까지 확인하세요

\(f(x)\to-2\)이므로 \(f(x)^2\)의 극한은 \((-2)^2=4\)입니다.

정답: \(-8\)

4. 몫의 성질과 분모 조건

문제 5 기본 · 몫의 성질

분모의 극한이 0이 아닌지 확인하기

다음이 성립할 때 주어진 극한값을 구하세요.

\[ \lim_{x \to 1} f(x)=6, \qquad \lim_{x \to 1} g(x)=-2 \]

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2f(x)+g(x)}{f(x)-g(x)} \]

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1단계｜분자의 극한을 구합니다

\[ 2\cdot6+(-2)=10 \]

2단계｜분모의 극한을 구합니다

\[ 6-(-2)=8 \]

분모의 극한이 \(8\ne0\)이므로 몫의 성질을 사용할 수 있습니다.

3단계｜분수로 계산합니다

\[ \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \]

정답: \(\dfrac{5}{4}\)

 

5. 여러 성질이 섞인 종합 문제

문제 6 종합 · 상수배·합·곱·몫

복잡한 분수식을 극한값으로 바꾸기

다음이 성립할 때 주어진 극한값을 구하세요.

\[ \lim_{x \to a} f(x)=2, \qquad \lim_{x \to a} g(x)=3 \]

\[ \lim_{x \to a} \frac{2f(x)+g(x)}{f(x)g(x)} \]

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1단계｜분자의 극한을 계산합니다

\[ 2\cdot2+3=7 \]

2단계｜분모의 극한을 계산합니다

\[ 2\cdot3=6 \]

분모의 극한이 \(6\ne0\)이므로 몫의 성질을 적용할 수 있습니다.

3단계｜최종 계산을 합니다

\[ \frac{7}{6} \]

복잡해 보여도 계산 구조는 단순합니다

분자와 분모를 따로 계산한 뒤 마지막에 나누면 됩니다. 함수 기호가 사라지고 숫자로 바뀌는 순간 일반적인 분수 계산과 같아집니다.

정답: \(\dfrac{7}{6}\)

문제 7 종합 · 다항식과 몫

분자에 여러 곱셈이 들어간 식

다음이 성립할 때 주어진 극한값을 구하세요.

\[ \lim_{x \to 0} f(x)=1, \qquad \lim_{x \to 0} g(x)=2 \]

\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)^2-3f(x)g(x)+2g(x)^2} {f(x)+g(x)} \]

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1단계｜분자의 극한을 계산합니다

\[ 1^2-3(1)(2)+2(2^2) \]

\[ 1-6+8=3 \]

2단계｜분모의 극한을 계산합니다

\[ 1+2=3 \]

분모의 극한은 \(3\ne0\)입니다.

3단계｜분자와 분모를 나눕니다

\[ \frac{3}{3}=1 \]

정답: \(1\)

6. 분모의 극한이 0이면 답을 바로 정할 수 없습니다

분모의 극한이 0인 몫은 별도로 조사해야 합니다

다음과 같이 주어졌다고 하겠습니다.

\[ \lim_{x \to a} f(x)=4, \qquad \lim_{x \to a} g(x)=0 \]

이 정보만으로는 다음 극한의 값을 정할 수 없습니다.

\[ \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} \]

분모가 0에 가까워지는 방향과 부호에 따라 양의 무한대로 발산할 수도 있고, 음의 무한대로 발산할 수도 있으며, 좌극한과 우극한이 달라 전체 극한이 존재하지 않을 수도 있습니다.

분모의 변화	분자가 양수일 때	가능한 결과
0의 양의 방향으로 접근	양수 ÷ 작은 양수	\(\infty\)
0의 음의 방향으로 접근	양수 ÷ 작은 음수	\(-\infty\)
왼쪽·오른쪽 부호가 다름	방향에 따라 부호 변화	양쪽 극한이 존재하지 않을 수 있음
분자도 0으로 접근	\(\dfrac{0}{0}\)꼴	약분이나 유리화가 필요할 수 있음

몫 문제를 만났을 때 확인할 순서

1. 분자의 극한을 계산합니다.
2. 분모의 극한을 계산합니다.
3. 분모의 극한이 0이 아닌지 확인합니다.
4. 0이 아니면 몫의 성질을 사용합니다.
5. 0이면 약분·유리화·부호 조사가 필요한지 다시 확인합니다.

7. 문제별 정답과 사용한 성질

정답표 열기

문제	사용한 성질	정답
문제 1	상수배, 합	\(10\)
문제 2	상수배, 차	\(13\)
문제 3	합·차, 곱	\(-3\)
문제 4	제곱, 곱, 합	\(-8\)
문제 5	합·차, 몫	\(\dfrac{5}{4}\)
문제 6	상수배, 합, 곱, 몫	\(\dfrac{7}{6}\)
문제 7	제곱, 곱, 합·차, 몫	\(1\)

오늘의 최종 정리

• 함수의 극한이 존재하면 함수 기호를 극한값으로 바꾼 뒤 계산할 수 있습니다.
• 상수는 극한 기호 밖으로 꺼내어 극한값에 곱합니다.
• 합과 차는 각각의 극한값을 더하거나 뺍니다.
• 곱은 각각의 극한값을 곱합니다.
• 몫은 각각의 극한값을 나누지만 분모의 극한이 0이 아니어야 합니다.
• 분모의 극한이 0이면 몫의 성질만으로 답을 정할 수 없습니다.
• 복잡한 식은 분자와 분모 또는 괄호별로 나누어 계산하면 실수를 줄일 수 있습니다.

8. 함수 극한의 성질 자주 묻는 질문

Q1. 함수의 극한값을 식에 바로 대입해도 되나요?

각 함수의 극한이 존재하고 합, 차, 곱과 같은 성질의 조건을 만족하면 함수 대신 극한값을 넣어 계산할 수 있습니다.

Q2. 상수는 왜 극한 기호 밖으로 꺼낼 수 있나요?

상수는 x의 변화와 관계없이 고정된 값이므로 함수의 극한값에 그대로 곱할 수 있습니다.

Q3. 분모의 극한이 0이면 극한값은 무조건 무한대인가요?

아닙니다. 분자의 변화와 분모의 부호에 따라 결과가 달라집니다. 약분 후 유한한 값이 나올 수도 있고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산할 수도 있으며, 전체 극한이 존재하지 않을 수도 있습니다.

Q4. 분자와 분모의 극한을 따로 계산해도 되나요?

가능합니다. 다만 몫의 성질을 최종적으로 적용하려면 분모의 극한값이 0이 아니어야 합니다.

Q5. \(f(x)^2\)의 극한은 어떻게 구하나요?

\(f(x)^2=f(x)\cdot f(x)\)이므로 곱의 성질을 적용합니다. \(\lim_{x\to a}f(x)=L\)이면 \(\lim_{x\to a}f(x)^2=L^2\)입니다.

개념 글과 문제풀이 글을 함께 활용하세요

네이버 블로그에서는 상수배, 합, 차, 곱, 몫의 성질을 그림과 간단한 예제로 설명하고, 이 글에서는 여러 성질이 섞인 식을 실제로 계산하는 방법을 다루었습니다.

네이버 개념 글에서 공식을 이해한 뒤 이 글의 문제 1부터 문제 7까지 순서대로 풀어보면 다항함수와 유리함수의 극한 계산으로 자연스럽게 이어집니다.

곰쌤수학 네이버 블로그에서 극한의 성질 개념 보기

충주 곰쌤수학 학습 안내

충주에서 초·중·고 수학을 지도하는 곰쌤수학에서는 공식을 외우는 데서 끝내지 않고, 어떤 성질을 어느 단계에서 사용했는지 학생이 직접 설명하도록 지도합니다.

함수 극한의 성질은 다항함수와 유리함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수의 정의를 계산하는 데 계속 사용되는 기본 도구입니다.

작성·검토: 곰쌤수학
학습 범위: 고등학교 미적분Ⅰ 함수의 극한

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