분수를 소수로 바꾸면 왜 같은 숫자가 계속 반복될까요?
안녕하세요. 곰쌤수학의 곰쌤이에요. 🐻
지난 시간에는 소수점 아래 숫자가 어느 자리에서 끝나는 유한소수와, 끝없이 계속되는 무한소수를 구분해 보았습니다.
이번에는 무한소수 중에서도 일정한 숫자의 배열이 계속 반복되는 순환소수를 문제로 공부해 볼 거예요.
순환소수를 제대로 이해하려면 결과만 외우는 것보다 분자를 분모로 나눌 때 나머지가 어떻게 변하는지를 직접 확인해야 합니다. 같은 나머지가 다시 나타나면 이후의 계산도 똑같이 반복되고, 몫에 적히는 숫자도 같은 순서로 되풀이됩니다.
분수를 소수로 바꾸는 방법 → 나머지가 반복되는 원리 → 순환소수 판별 → 반복이 중간부터 시작하는 문제까지 대표 문제 6개로 연습합니다.
네이버 블로그에서 1÷3, 2÷11, 5÷6의 나눗셈 과정과 순환소수의 뜻을 먼저 확인할 수 있습니다.
순환소수 개념 설명 보러 가기 →
1. 순환소수란 무엇인가요?
순환소수는 소수점 아래의 어떤 자리부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 무한소수입니다.
0.181818… → 18이 반복
0.8333… → 8 다음부터 3이 반복
순환소수는 소수점 아래 숫자가 끝나지 않으므로 무한소수이지만, 아무 숫자나 불규칙하게 나오는 것이 아니라 일정한 규칙을 가지고 반복된다는 특징이 있습니다.
순환소수는 끝은 없지만, 소수점 아래의 일정한 숫자 배열이 계속 반복되는 소수입니다.
2. 분수를 소수로 바꾸는 방법
분수를 소수로 바꾸는 방법은 하나입니다. 분자를 분모로 나누면 됩니다.
예를 들어 1 3 을 소수로 바꾸려면 1÷3을 계산합니다.
1은 3보다 작기 때문에 자연수 범위에서는 나눌 수 없습니다. 이때 몫에 0과 소수점을 쓰고, 나누어지는 수의 뒤에 0을 붙여 1.000…÷3으로 계산을 계속합니다.
분모를 분자로 나누는 것이 아닙니다. 항상 분자÷분모, 즉 분수의 위에 있는 수를 아래에 있는 수로 나눕니다.
3. 같은 나머지가 나오면 왜 숫자가 반복될까요?
나눗셈에서 다음 몫의 숫자를 결정하는 것은 현재의 나머지입니다. 따라서 이전에 나왔던 나머지가 다시 나타나면 다음에 하는 계산도 이전과 완전히 같아집니다.
몫의 소수 첫째 자리에 3을 씁니다.
또 10÷3=3, 나머지는 다시 1입니다.
같은 나머지가 다시 나오면 그다음 계산이 같아지고, 몫의 숫자도 같은 순서로 반복됩니다.
몫의 숫자가 우연히 비슷하게 나오는 것이 아닙니다. 나머지가 반복되기 때문에 몫의 숫자도 반복되는 것입니다.
4. 순환소수 대표 예제 세 가지
예제 1. 2÷11은 왜 18이 반복될까요?
몫의 소수 첫째 자리는 1입니다.
몫의 소수 둘째 자리는 8입니다.
따라서 18이라는 숫자 배열이 계속 반복됩니다.
예제 2. 반복은 소수 첫째 자리부터만 시작할까요?
아닙니다. 반복되는 부분이 소수점 바로 뒤가 아니라 중간 자리부터 시작할 수도 있습니다.
소수 첫째 자리의 8은 한 번만 나타납니다.
같은 나머지 2가 다시 나타났습니다.
8은 한 번만 나오고, 그 뒤의 3만 계속 반복됩니다.
예제 3. 유한소수와 순환소수 비교
| 분수 | 나눗셈 | 소수 | 결과 |
|---|---|---|---|
| 3 8 | 3÷8 | 0.375 | 유한소수 |
| 1 3 | 1÷3 | 0.333… | 순환소수 |
| 2 11 | 2÷11 | 0.181818… | 순환소수 |
| 5 6 | 5÷6 | 0.8333… | 순환소수 |
반복이 소수 첫째 자리부터 시작하지 않아도 괜찮습니다. 소수점 아래의 어떤 자리부터 일정한 숫자 배열이 계속 반복되면 순환소수입니다.
5. 중2 순환소수 대표 문제 6개
바로 풀이를 열지 말고 먼저 분자÷분모를 계산해 보세요. 답을 구한 뒤 각 문제 아래의 ‘정답과 풀이 보기’를 눌러 나눗셈 과정과 반복되는 숫자를 확인하면 됩니다.
다음 분수를 소수로 나타내고, 반복되는 숫자를 각각 찾아보세요.
정답과 풀이 보기
다음 분수를 소수로 나타내고, 나머지가 처음으로 되풀이되는 과정을 설명하세요.
정답과 풀이 보기
40÷27=1, 나머지는 13입니다.
130÷27=4, 나머지는 22입니다.
220÷27=8, 나머지는 4입니다.
처음 나눗셈을 시작할 때의 수 4와 같은 나머지가 다시 나왔습니다. 따라서 다음 계산은 다시 40÷27부터 시작됩니다.
그러므로 148이라는 배열이 계속 반복됩니다.
다음 분수를 소수로 나타내고, 한 번만 나타나는 숫자와 계속 반복되는 숫자를 구분해 보세요.
정답과 풀이 보기
소수 첫째 자리에 5를 씁니다.
소수 둘째 자리에 8을 씁니다.
나머지 4가 다시 나타났으므로 이후에도 3이 계속 나옵니다.
5와 8은 한 번씩만 나타나고, 3이 계속 반복됩니다.
다음 분수를 소수로 나타냈을 때 순환소수가 되는 것을 모두 고르세요.
ㄱ. 3 8 ㄴ. 7 20
ㄷ. 2 11 ㄹ. 5 6
ㅁ. 9 40
① ㄱ, ㄴ ② ㄴ, ㄷ ③ ㄷ, ㄹ ④ ㄱ, ㄹ, ㅁ ⑤ ㄷ, ㄹ, ㅁ
정답과 풀이 보기
소수 셋째 자리에서 끝나므로 유한소수입니다.
소수 둘째 자리에서 끝나므로 유한소수입니다.
18이 계속 반복되므로 순환소수입니다.
3이 계속 반복되므로 순환소수입니다.
소수 셋째 자리에서 끝나므로 유한소수입니다.
따라서 순환소수는 ㄷ과 ㄹ입니다.
민수는 7 22 을 소수로 나타낸 뒤 다음과 같이 말했습니다. 잘못된 부분을 찾아 바르게 고쳐 보세요.
“7÷22=0.3181818…이므로 318이 계속 반복된다.”
정답과 풀이 보기
민수는 소수점 아래에 처음 나온 숫자를 모두 반복되는 부분에 포함한 것이 잘못입니다.
70÷22=3, 나머지 4
40÷22=1, 나머지 18
180÷22=8, 나머지 4
나머지 4가 다시 나타났으므로 40÷22부터의 계산인 1, 8이 반복됩니다.
소수 첫째 자리의 3은 한 번만 나타나고, 그 뒤의 18이 계속 반복됩니다.
“7÷22=0.3181818…이고, 3은 한 번만 나타나며 그 뒤의 18이 계속 반복된다.”
다음 분수 중 소수로 나타냈을 때 순환소수가 되는 것의 개수를 구하세요.
① 1개 ② 2개 ③ 3개 ④ 4개 ⑤ 5개
정답과 풀이 보기
유한소수입니다.
2가 계속 반복되는 순환소수입니다.
4와 1은 한 번씩 나타나고 6이 계속 반복되는 순환소수입니다.
유한소수입니다.
36이 계속 반복되는 순환소수입니다.
순환소수는 2 9 , 5 12 , 4 11 의 3개입니다.
각 분수를 분자÷분모로 계산한 뒤, 끝나면 ‘유’, 일정한 숫자가 반복되면 ‘순’이라고 표시하세요.
- 6문제 정답: 나머지 반복과 순환소수의 원리를 정확히 이해했습니다.
- 4~5문제 정답: 반복이 중간부터 시작하는 문제를 한 번 더 확인하세요.
- 2~3문제 정답: 나머지가 다시 나타나는 지점을 표시하며 복습하세요.
- 0~1문제 정답: 1÷3의 나눗셈 과정부터 천천히 다시 따라가 보세요.
6. 순환소수 문제에서 자주 하는 실수
분수를 소수로 바꿀 때는 항상 분자÷분모입니다.
0.8333…에서 8은 한 번만 나오고 3만 반복됩니다. 0.3181818…에서는 3은 한 번만 나오고 18이 반복됩니다.
반복되는 숫자를 정확히 찾으려면 몫만 보는 것보다 나머지가 언제 다시 나타나는지를 확인하는 것이 좋습니다.
1÷3의 값은 0.33 정도가 아니라 0.333…과 정확히 같습니다. 점 세 개는 뒤의 3이 계속 이어진다는 뜻입니다.
7. 오늘의 핵심 정리
- 분수를 소수로 바꾸려면 분자÷분모를 계산합니다.
- 나눗셈에서 같은 나머지가 다시 나오면 이후의 계산도 반복됩니다.
- 나머지가 반복되면 몫의 숫자도 같은 순서로 반복됩니다.
- 소수점 아래의 어떤 자리부터 일정한 숫자 배열이 한없이 반복되는 무한소수를 순환소수라고 합니다.
- 반복은 소수 첫째 자리부터 시작할 수도 있고, 중간 자리부터 시작할 수도 있습니다.
분자÷분모를 계산할 때 같은 나머지가 다시 나오면, 그때부터 몫의 숫자도 같은 순서로 반복됩니다.
8. 순환소수 자주 묻는 질문
Q1. 순환소수란 무엇인가요?
소수점 아래의 어떤 자리부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 무한소수입니다. 0.333…, 0.181818…, 0.8333… 등이 순환소수입니다.
Q2. 같은 나머지가 나오면 왜 몫도 반복되나요?
같은 나머지가 나오면 뒤에 0을 붙여 만드는 수도 같아지고, 분모로 나누는 계산도 이전과 같아집니다. 따라서 몫과 다음 나머지가 같은 순서로 반복됩니다.
Q3. 반복되는 숫자는 반드시 소수 첫째 자리부터 시작하나요?
아닙니다. 0.8333…처럼 소수 첫째 자리의 8은 한 번만 나타나고, 소수 둘째 자리부터 3이 반복될 수도 있습니다.
Q4. 0.333…은 1÷3의 대략적인 값인가요?
아닙니다. 0.333…은 3이 한없이 계속된다는 뜻이며, 1÷3과 정확히 같은 값입니다.
Q5. 순환소수는 모두 무한소수인가요?
네. 순환소수는 소수점 아래 숫자가 끝없이 계속되므로 무한소수입니다. 다만 일정한 숫자 배열이 반복된다는 규칙이 있습니다.
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