순환소수의 100번째 숫자도 직접 쓰지 않고 찾을 수 있습니다
안녕하세요. 곰쌤수학의 곰쌤이에요. 🐻
순환소수의 소수점 아래 70번째, 100번째, 202번째 숫자를 구하라는 문제를 보면 숫자를 그 자리까지 모두 써야 할 것처럼 느껴질 수 있습니다.
하지만 순환소수에는 같은 숫자 묶음이 계속 반복됩니다. 따라서 순환마디의 길이로 자리 번호를 나눈 나머지만 알면 아주 먼 자리의 숫자도 빠르게 찾을 수 있습니다.
이번 글에서는 네이버 개념 글과 같은 예제를 반복하지 않고, 새로운 분수와 시험형 문제를 이용해 순환소수의 n번째 자리 찾는 방법을 연습하겠습니다.
순환마디의 길이를 구하고, 자리 번호를 나눈 나머지로 n번째 숫자를 찾을 수 있습니다. 또한 나머지가 0인 경우와 반복되지 않는 앞부분이 있는 문제도 해결할 수 있습니다.
순환마디를 이용해 먼 자리의 숫자를 찾는 기본 원리는 네이버 블로그 개념 글에서 그림과 함께 확인할 수 있습니다.
순환소수 몇 번째 숫자 찾기 개념 글 보기 →
1. 순환소수의 n번째 자리 숫자를 찾는 방법
소수점 아래 n번째 자리의 숫자를 찾으려면 n을 순환마디의 숫자 개수로 나눈 나머지를 구합니다.
나머지가 1이면 순환마디의 첫 번째 숫자, 나머지가 2이면 두 번째 숫자와 같이 대응시킵니다.
단, 나머지가 0이면 순환마디의 마지막 숫자를 선택합니다.
자리 번호 ÷ 순환마디의 길이 → 나머지가 순환마디 안에서의 위치
\(r=1,2,3,\ldots\)이면 순환마디의 \(r\)번째 숫자를 찾습니다. \(r=0\)이면 순환마디의 마지막 숫자를 찾습니다.
이 유형은 몫보다 나머지가 중요합니다. 몫은 완전한 순환마디가 몇 번 지나갔는지를 나타내고, 나머지는 새 순환마디에서 몇 번째 숫자인지를 알려줍니다.
2. 새로운 대표 예제로 원리 확인하기
다음 순환소수에서 소수점 아래 73번째 자리의 숫자를 찾아보겠습니다.
반복되는 가장 짧은 숫자 묶음은 36이므로 순환마디는 36이고 순환마디의 길이는 2입니다.
이제 73을 순환마디의 길이 2로 나눕니다.
나머지가 1이므로 순환마디 36의 첫 번째 숫자를 찾습니다.
순환마디 36의 첫 번째 숫자는 3이므로 소수점 아래 73번째 자리의 숫자는 3입니다.
이 계산이 뜻하는 것
숫자 두 개로 이루어진 순환마디 36이 36번 완전히 지나가면 소수점 아래 72번째 자리까지 채워집니다.
73번째 자리는 그다음 순환마디가 새로 시작되는 자리이므로 첫 번째 숫자인 3이 놓입니다.
3. 나머지가 0이면 마지막 숫자입니다
순환마디의 길이로 자리 번호를 나누었을 때 나머지가 0이 나오면 완전한 순환마디가 정확히 끝나는 자리입니다.
순환마디는 142857이고 길이는 6입니다. 소수점 아래 120번째 자리의 숫자를 찾아보겠습니다.
나머지가 0이라는 것은 새로운 순환마디의 0번째 자리를 찾으라는 뜻이 아닙니다. 순환마디가 정확히 끝난 자리이므로 여섯 번째 숫자를 찾아야 합니다.
나머지가 0이면 순환마디의 첫 번째 숫자가 아니라 마지막 숫자를 선택합니다.
따라서 \(\frac{1}{7}\)의 소수점 아래 120번째 자리 숫자는 7입니다.
4. 반복되지 않는 앞부분이 있으면 먼저 빼야 합니다
모든 순환소수가 소수 첫째 자리부터 반복되는 것은 아닙니다. 반복되지 않는 숫자가 앞에 있다면 자리 번호를 바로 순환마디의 길이로 나누면 안 됩니다.
이 소수에서 소수 첫째 자리의 3은 한 번만 나타납니다. 그 뒤의 18이 계속 반복됩니다.
| 구분 | 숫자 | 자리 |
|---|---|---|
| 반복되지 않는 부분 | 3 | 소수 첫째 자리 |
| 순환마디 | 18 | 소수 둘째 자리부터 |
| 순환마디의 길이 | 2 | 1, 8의 두 자리 |
소수점 아래 64번째 자리의 숫자를 찾는다면 먼저 반복되지 않는 첫 번째 자리 한 개를 제외합니다.
이제 반복되는 부분에서 63번째 숫자를 찾으면 됩니다.
나머지가 1이므로 순환마디 18의 첫 번째 숫자인 1이 답입니다.
전체 자리 번호에서 반복되지 않는 숫자의 개수를 먼저 뺀 뒤, 남은 자리 번호를 순환마디의 길이로 나눕니다.
5. 순환소수 n번째 자리 대표 문제 6개
순환마디가 어디서 시작하는지, 순환마디의 길이가 몇 개인지, 반복되지 않는 앞부분이 있는지를 먼저 표시한 뒤 계산하세요.
\(\frac{4}{11}=0.363636\cdots\)일 때, 소수점 아래 73번째 자리의 숫자를 구하세요.
정답과 풀이 보기
반복되는 가장 짧은 숫자 묶음은 36이고 길이는 2입니다.
나머지가 1이므로 순환마디 36의 첫 번째 숫자를 찾습니다.
첫 번째 숫자는 3이므로 정답은 3입니다.
\(\frac{5}{27}=0.185185185\cdots\)일 때, 소수점 아래 202번째 자리의 숫자를 구하세요.
정답과 풀이 보기
순환마디는 185이고 길이는 3입니다.
순환마디 185의 첫 번째 숫자는 1입니다.
따라서 소수점 아래 202번째 자리의 숫자는 1입니다.
\(\frac{1}{7}=0.142857142857\cdots\)일 때, 소수점 아래 120번째 자리의 숫자를 구하세요.
정답과 풀이 보기
순환마디는 142857이고 길이는 6입니다.
나머지가 0이면 순환마디의 마지막 숫자를 선택합니다.
순환마디 142857의 마지막 숫자는 7이므로 정답은 7입니다.
\(\frac{7}{22}=0.318181818\cdots\)일 때, 소수점 아래 64번째 자리의 숫자를 구하세요.
정답과 풀이 보기
소수 첫째 자리의 3은 한 번만 나타납니다. 순환마디는 그 뒤의 18입니다.
나머지가 1이므로 순환마디 18의 첫 번째 숫자인 1이 정답입니다.
\(\frac{13}{30}=0.43333\cdots\)일 때, 소수점 아래 100번째 자리의 숫자를 구하세요.
정답과 풀이 보기
소수 첫째 자리의 4는 한 번만 나타나고, 소수 둘째 자리부터 3이 계속 반복됩니다.
순환마디가 3 한 자리이므로 반복되는 부분의 모든 숫자는 3입니다.
따라서 소수점 아래 100번째 자리의 숫자는 3입니다.
\(\frac{1}{7}=0.142857142857\cdots\)일 때, 소수점 아래 첫째 자리부터 100번째 자리까지 숫자의 합을 구하세요.
정답과 풀이 보기
따라서 소수점 아래 첫째 자리부터 100번째 자리까지 숫자의 합은 447입니다.
- 6문제 정답: 기본 문제부터 반복 전 숫자가 있는 유형과 숫자의 합까지 이해했습니다.
- 4~5문제 정답: 나머지가 0인 경우와 반복되지 않는 앞부분을 다시 확인하세요.
- 2~3문제 정답: 순환마디의 자리표를 직접 만든 뒤 다시 풀어보세요.
- 0~1문제 정답: 자리 번호를 순환마디의 길이로 나누는 기본 원리부터 복습하세요.
6. 순환소수 n번째 자리 문제에서 자주 하는 실수
순환마디가 185라고 해서 자리 번호를 185로 나누는 것이 아닙니다. 순환마디를 이루는 숫자의 개수 3으로 나누어야 합니다.
나머지가 0이면 한 순환마디가 정확히 끝난 자리이므로 순환마디의 마지막 숫자를 선택합니다.
0.3181818…에서 첫 번째 숫자 3은 반복되지 않습니다. n번째 자리가 반복되는 부분에 있다면 먼저 반복되지 않는 자리의 개수를 빼야 합니다.
몫은 완전한 순환마디가 몇 번 지나갔는지를 나타냅니다. 실제로 순환마디 안에서 몇 번째 숫자인지를 알려주는 것은 나머지입니다.
7. 오늘의 핵심 정리
- 순환소수의 n번째 자리 숫자는 순환마디의 규칙을 이용해 찾습니다.
- 자리 번호를 순환마디의 길이로 나눈 나머지가 순환마디 안에서의 위치입니다.
- 나머지가 0이면 순환마디의 마지막 숫자를 선택합니다.
- 반복되지 않는 숫자가 앞에 있으면 그 숫자의 개수를 자리 번호에서 먼저 뺍니다.
- 같은 원리를 이용하면 일정 구간의 자리 숫자 합도 계산할 수 있습니다.
자리 번호를 순환마디의 길이로 나눈 나머지를 확인하되, 나머지가 0이면 마지막 숫자를 선택합니다.
8. 순환소수 n번째 자리 자주 묻는 질문
Q1. 순환소수의 n번째 자리 숫자는 어떻게 찾나요?
n을 순환마디의 길이로 나눈 나머지를 구합니다. 나머지가 1이면 첫 번째 숫자, 2이면 두 번째 숫자와 같이 대응시킵니다.
Q2. 나머지가 0이면 몇 번째 숫자를 고르나요?
순환마디의 마지막 숫자를 고릅니다. 나머지 0은 한 순환마디가 정확히 끝난 자리를 뜻합니다.
Q3. 순환마디가 285714이면 285714로 나누나요?
아닙니다. 순환마디를 이루는 숫자의 개수가 6개이므로 자리 번호를 6으로 나눕니다.
Q4. 반복되지 않는 숫자가 앞에 있으면 어떻게 하나요?
전체 자리 번호에서 반복되지 않는 숫자의 개수를 먼저 뺀 뒤, 남은 자리 번호를 순환마디의 길이로 나눕니다.
Q5. 자리 숫자의 합도 순환마디로 구할 수 있나요?
네. 한 순환마디의 숫자 합을 구하고, 완전한 순환마디의 개수와 남은 숫자를 나누어 계산하면 됩니다.
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