반복되는 숫자는 어디부터 어디까지일까요?
안녕하세요. 곰쌤수학의 곰쌤이에요. 🐻
순환소수 문제에서 학생들이 가장 많이 틀리는 부분은 계산이 아닙니다. 어떤 숫자가 실제로 반복되는지 범위를 잘못 잡는 것입니다.
반복되지 않는 숫자까지 순환마디에 넣거나, 반복되는 숫자 가운데 일부만 골라 점을 찍으면 정답으로 인정받기 어렵습니다.
이번 글에서는 순환마디를 찾는 기준과 순환소수를 점으로 나타내는 방법을 새로운 대표 문제 6개로 연습해 보겠습니다.
반복되는 가장 짧은 숫자 묶음을 찾고, 반복되지 않는 앞부분을 구분한 뒤, 첫 번째 순환마디의 양 끝 숫자에 정확하게 점을 찍을 수 있습니다.
순환마디의 뜻과 점을 찍는 기본 방법은 네이버 블로그 개념 글에서 그림과 함께 확인할 수 있습니다.
순환마디와 순환소수 표기법 개념 글 보기 →
1. 순환마디의 정확한 뜻
순환소수의 소수점 아래에서 일정하게 되풀이되는 가장 짧은 숫자 묶음을 순환마디라고 합니다.
예를 들어 0.565656…에서는 56이 계속 반복됩니다. 따라서 이 순환소수의 순환마디는 56입니다.
순환마디를 찾을 때는 소수점 아래 숫자를 처음부터 무조건 묶는 것이 아닙니다. 실제로 같은 순서로 계속 되풀이되는 부분만 찾아야 합니다.
순환마디는 42입니다.
순환마디는 53입니다.
순환마디는 소수점 아래의 모든 숫자가 아닙니다. 반복이 시작되기 전에 한 번만 나온 숫자는 순환마디에서 제외합니다.
2. 순환마디는 가장 짧은 반복 단위로 찾습니다
0.727272…를 보면 72도 반복되고, 7272도 반복되는 것처럼 보입니다. 하지만 순환마디는 반복되는 묶음을 가능한 한 짧게 잡아야 합니다.
7272는 72가 두 번 이어진 것이므로 가장 짧은 반복 단위가 아닙니다.
반복되는 부분을 너무 길게 잡으면 순환마디를 정확히 찾지 못한 것입니다. 같은 배열이 반복되는지 확인한 뒤, 더 짧게 나눌 수 있는지 한 번 더 살펴보세요.
“이 숫자 묶음을 더 짧게 나누어도 같은 배열이 반복되는가?”
더 짧게 나눌 수 없다면 그것이 순환마디입니다.
3. 순환소수를 점으로 나타내는 방법
순환마디를 찾았다면 첫 번째 순환마디의 첫 숫자와 마지막 숫자 위에 점을 찍습니다.
순환마디가 한 자리일 때
반복되는 숫자가 한 자리라면 그 숫자 하나 위에 점을 찍습니다.
순환마디가 두 자리 이상일 때
순환마디의 첫 숫자와 마지막 숫자 위에만 점을 찍습니다. 가운데 숫자에는 점을 찍지 않습니다.
순환마디는 472이지만 점은 4와 2 위에만 찍습니다. 가운데 숫자 7에는 점을 찍지 않습니다.
반복되지 않는 숫자가 앞에 있을 때
소수 첫째 자리의 3은 한 번만 나타나므로 점을 찍지 않습니다. 반복되는 86의 첫 숫자 8과 마지막 숫자 6에만 점을 찍습니다.
점의 위치를 정하기 전에 순환마디부터 적어보세요. 순환마디가 정확하면 점을 찍는 위치도 자연스럽게 결정됩니다.
4. 순환마디와 표기법 한눈에 확인하기
| 순환소수 | 반복되지 않는 부분 | 순환마디 | 점을 찍은 표현 |
|---|---|---|---|
| 0.8888… | 없음 | 8 | 0.8 |
| 0.424242… | 없음 | 42 | 0.42 |
| 0.1535353… | 1 | 53 | 0.153 |
| 1.472472472… | 없음 | 472 | 1.472 |
| 2.731731731… | 없음 | 731 | 2.731 |
5. 순환마디와 순환소수 표기법 대표 문제 6개
먼저 반복되지 않는 앞부분을 구분하고, 가장 짧은 순환마디를 찾으세요. 그다음 첫 번째 순환마디의 양 끝 숫자에 점을 찍으면 됩니다.
다음 순환소수의 순환마디를 각각 구하세요.
① 0.727272…
② 0.444444…
③ 0.1535353…
④ 2.806806806…
정답과 풀이 보기
72｜72｜72의 순서로 같은 두 자리 숫자가 반복됩니다.
44나 444도 반복되어 보이지만 가장 짧은 반복 단위는 4입니다.
소수 첫째 자리의 1은 한 번만 나타나고 그 뒤의 53이 반복됩니다.
806이라는 세 자리 배열이 같은 순서로 반복됩니다.
순환소수 0.58888…을 점을 이용하여 바르게 나타낸 것은 무엇인가요?
① 0.58
② 0.58
③ 0.58
④ 0.58
정답과 풀이 보기
0.58888…에서 소수 첫째 자리의 5는 한 번만 나타납니다. 소수 둘째 자리부터 8만 계속 반복됩니다.
순환마디가 한 자리인 8이므로 8 위에 점 하나만 찍습니다.
다음 순환소수를 점을 이용하여 간단히 나타내세요.
① 0.414141…
② 0.3868686…
③ 2.731731731…
정답과 풀이 보기
다음과 같이 점을 이용해 나타낸 순환소수를 반복되는 숫자가 보이도록 풀어 쓰세요.
① 0.7
② 1.249
③ 0.358
정답과 풀이 보기
점이 찍힌 숫자가 한 자리이므로 7이 계속 반복됩니다.
소수 첫째 자리의 2는 한 번만 나타나고 49가 반복됩니다.
점이 찍힌 첫 숫자 3부터 마지막 숫자 8까지인 358이 반복됩니다.
다음 설명 중 순환마디를 잘못 찾은 것은 무엇인가요?
ㄱ. 0.585858…의 순환마디는 58이다.
ㄴ. 0.34444…의 순환마디는 34이다.
ㄷ. 0.246246246…의 순환마디는 246이다.
ㄹ. 0.99999…의 순환마디는 9이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄹ ⑤ 잘못된 설명이 없다
정답과 풀이 보기
0.34444…에서 소수 첫째 자리의 3은 한 번만 나타납니다. 계속 반복되는 숫자는 4뿐입니다.
따라서 ㄴ의 순환마디는 34가 아니라 4입니다.
나머지 선택지는 반복되는 가장 짧은 숫자 묶음을 바르게 찾았습니다.
다음 세 순환소수에 대한 설명 중 옳은 것의 개수를 구하세요.
A = 0.1252525…
B = 0.640640640…
C = 0.4788888…
ㄱ. A의 순환마디는 25이다.
ㄴ. A는 0.125 로 나타낸다.
ㄷ. B는 0.640 로 나타낸다.
ㄹ. C의 순환마디는 78이다.
① 0개 ② 1개 ③ 2개 ④ 3개 ⑤ 4개
정답과 풀이 보기
A에서 1은 한 번만 나타나고 25가 계속 반복됩니다.
제시된 표기는 125 전체가 반복된다는 뜻입니다. A는 다음과 같이 나타내야 합니다.
B의 순환마디는 640이므로 첫 숫자 6과 마지막 숫자 0 위에 점을 찍습니다. 가운데 4에는 점을 찍지 않습니다.
C에서 4와 7은 한 번씩만 나타나고 8만 계속 반복됩니다. 순환마디는 78이 아니라 8입니다.
옳은 설명은 ㄱ과 ㄷ의 두 개입니다.
- 6문제 정답: 순환마디와 점을 찍는 위치를 정확히 이해했습니다.
- 4~5문제 정답: 반복되지 않는 앞부분이 있는 문제를 다시 확인하세요.
- 2~3문제 정답: 순환마디를 가장 짧게 잡는 연습이 더 필요합니다.
- 0~1문제 정답: 반복되는 숫자에 세로선을 그어 묶는 연습부터 시작해 보세요.
6. 순환소수 표기에서 자주 하는 실수
0.1535353…에서 1은 한 번만 나타나므로 순환마디가 아닙니다. 순환마디는 53입니다.
0.727272…의 순환마디는 7272가 아니라 가장 짧은 반복 단위인 72입니다.
순환마디가 세 자리 이상이어도 첫 숫자와 마지막 숫자 위에만 점을 찍습니다. 가운데 숫자에는 점을 찍지 않습니다.
첫 숫자와 마지막 숫자에 점이 찍혀 있다면 두 점 사이의 숫자 전체가 순환마디입니다.
7. 오늘의 핵심 정리
- 순환마디는 순환소수에서 반복되는 가장 짧은 숫자 묶음입니다.
- 반복이 시작되기 전에 한 번만 나타난 숫자는 순환마디에 포함하지 않습니다.
- 순환마디가 한 자리이면 그 숫자 위에 점 하나를 찍습니다.
- 순환마디가 두 자리 이상이면 첫 숫자와 마지막 숫자 위에만 점을 찍습니다.
- 두 점 사이에 있는 가운데 숫자도 모두 반복되는 부분에 포함됩니다.
가장 짧은 순환마디를 찾은 뒤, 첫 번째 순환마디의 양 끝 숫자에만 점을 찍습니다.
8. 순환마디와 순환소수 표기법 FAQ
Q1. 순환마디란 무엇인가요?
순환소수의 소수점 아래에서 일정하게 되풀이되는 가장 짧은 숫자 묶음입니다.
Q2. 0.55555…의 순환마디를 55라고 해도 되나요?
아닙니다. 5 하나만으로도 같은 반복을 나타낼 수 있으므로 가장 짧은 순환마디는 5입니다.
Q3. 반복되지 않는 숫자에도 점을 찍나요?
찍지 않습니다. 반복되기 전에 한 번만 나타난 숫자는 그대로 쓰고, 실제 순환마디의 양 끝 숫자에만 점을 찍습니다.
Q4. 순환마디가 세 자리이면 점을 세 개 찍나요?
아닙니다. 첫 숫자와 마지막 숫자 위에 점을 하나씩 찍고, 가운데 숫자에는 점을 찍지 않습니다.
Q5. 점이 하나만 찍혀 있으면 어떤 뜻인가요?
점이 찍힌 한 자리 숫자만 계속 반복된다는 뜻입니다. 예를 들어 8 위에 점이 있으면 8이 한없이 반복됩니다.
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