나눗셈을 길게 하지 않고 분수를 유한소수로 바꿔봅시다
안녕하세요. 곰쌤수학의 곰쌤이에요. 🐻
분수를 소수로 나타낼 때 분자÷분모를 계산하면 답을 구할 수 있습니다. 하지만 분모가 크거나 나눗셈이 길어지면 계산 도중 숫자를 빠뜨리기 쉽습니다.
이럴 때는 분모를 10, 100, 1000, 10000과 같은 10의 거듭제곱으로 바꾸면 나눗셈을 길게 하지 않고도 소수를 바로 읽을 수 있습니다.
이번 글에서는 네이버 개념 글의 예제를 그대로 반복하지 않고, 새로운 분수와 시험형 문제를 이용해 유한소수로 나타내는 방법과 유한소수 판별법을 연습하겠습니다.
기약분수의 분모를 소인수분해하여 유한소수가 되는지 판별하고, 부족한 2 또는 5를 채워 분모를 10의 거듭제곱으로 바꿀 수 있습니다.
순환마디의 규칙을 이용해 소수점 아래 n번째 자리 숫자를 찾는 방법을 이전 문제풀이 글에서 복습할 수 있습니다.
순환소수 n번째 자리 대표 문제 보기 →
분모의 2와 5를 짝지어 10의 거듭제곱을 만드는 원리는 네이버 블로그 개념 글에서 그림과 함께 확인할 수 있습니다.
유한소수 판별법과 변환 개념 글 보기 →
1. 어떤 분수가 유한소수가 될까요?
분수를 기약분수로 약분한 뒤 분모를 소인수분해했을 때, 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있습니다.
분모에 2와 5 이외의 소인수인 3, 7, 11 등이 남아 있으면 유한소수로 나타낼 수 없습니다.
약분하기 → 분모 소인수분해하기 → 2와 5 이외의 소인수가 있는지 확인하기
분모만 바로 소인수분해하지 말고 반드시 기약분수로 먼저 만들어야 합니다.
2. 왜 분모를 10의 거듭제곱으로 만들까요?
분모가 10, 100, 1000처럼 10의 거듭제곱이면 분자의 숫자에서 소수점 위치를 바로 정할 수 있습니다.
분모에 있는 0의 개수가 소수점 아래 자릿수를 결정합니다.
| 분모 | 10의 거듭제곱 | 소수점 아래 자릿수 | 예 |
|---|---|---|---|
| 10 | \(10^1\) | 1자리 | \(\frac{7}{10}=0.7\) |
| 100 | \(10^2\) | 2자리 | \(\frac{23}{100}=0.23\) |
| 1000 | \(10^3\) | 3자리 | \(\frac{81}{1000}=0.081\) |
| 10000 | \(10^4\) | 4자리 | \(\frac{625}{10000}=0.0625\) |
2와 5를 짝지으면 10이 됩니다
분모가 \(2^m5^n\)의 꼴이라면 2와 5의 개수를 같게 만들어 \(10^k\)의 꼴로 바꿀 수 있습니다.
2가 부족하면 2를 곱하고, 5가 부족하면 5를 곱합니다. 분모에 곱한 수는 분자에도 똑같이 곱해야 분수의 값이 변하지 않습니다.
3. 새로운 대표 예제: \(\frac{13}{40}\)을 유한소수로 나타내기
\(\frac{13}{40}\)을 나눗셈하지 않고 유한소수로 나타내 보겠습니다.
2는 3개이고 5는 1개입니다. \(10^3=2^3\times5^3\)을 만들려면 5가 2개 부족합니다.
분모 1000에는 0이 3개 있으므로 소수점 아래 세 자리까지 나타냅니다.
\[ \frac{13}{40}=0.325 \]
4. 기약분수의 분모로 유한소수 판별하기
분수를 실제로 소수로 계산하지 않아도 기약분수의 분모만 보면 유한소수인지 빠르게 판단할 수 있습니다.
| 기약분수의 분모 | 분모의 소인수 | 유한소수 여부 | 판단 이유 |
|---|---|---|---|
| 8 | \(2^3\) | 유한소수 | 소인수가 2뿐 |
| 20 | \(2^2\times5\) | 유한소수 | 소인수가 2와 5뿐 |
| 45 | \(3^2\times5\) | 유한소수 아님 | 소인수 3이 포함됨 |
| 14 | \(2\times7\) | 유한소수 아님 | 소인수 7이 포함됨 |
처음 주어진 분수의 분모에 3이나 7이 있어도 약분하는 과정에서 그 소인수가 없어질 수 있습니다.
따라서 반드시 기약분수로 먼저 약분한 뒤 남은 분모의 소인수를 확인해야 합니다.
약분한 분모가 \(2^m5^n\)의 꼴이면 유한소수입니다.
여기서 \(m\)과 \(n\) 중 하나는 0이어도 됩니다. 즉 분모의 소인수가 2만 있거나 5만 있어도 유한소수입니다.
5. 유한소수 판별과 변환 대표 문제 6개
먼저 약분할 수 있는지 확인하고, 기약분수의 분모를 소인수분해하세요. 변환 문제에서는 부족한 2 또는 5를 채워 분모를 10의 거듭제곱으로 만듭니다.
\(\frac{13}{40}\)을 분모가 10의 거듭제곱인 분수로 바꾸어 유한소수로 나타내세요.
정답과 풀이 보기
\(2^3\times5^3=10^3\)을 만들기 위해 \(5^2=25\)를 곱합니다.
\(\frac{11}{32}\)를 나눗셈하지 않고 유한소수로 나타내세요.
정답과 풀이 보기
\(2^5\times5^5=10^5\)이므로 분자와 분모에 \(5^5=3125\)를 곱합니다.
다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것을 모두 고르세요.
ㄱ. \(\frac{18}{45}\)
ㄴ. \(\frac{14}{90}\)
ㄷ. \(\frac{21}{28}\)
ㄹ. \(\frac{27}{42}\)
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄹ ⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ
정답과 풀이 보기
따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 분수는 ㄱ과 ㄷ입니다.
민수는 다음과 같이 말했습니다. 잘못된 부분을 찾아 바르게 고쳐 보세요.
“\(\frac{18}{75}\)의 분모 75에는 소인수 3이 있으므로 유한소수로 나타낼 수 없다.”
정답과 풀이 보기
처음 주어진 분모 75만 보고 판단한 것이 잘못입니다. 분수를 먼저 기약분수로 만들어야 합니다.
기약분수의 분모 25는 \(5^2\)이므로 소인수가 5뿐입니다. 따라서 유한소수로 나타낼 수 있습니다.
“\(\frac{18}{75}\)를 약분하면 \(\frac{6}{25}\)이고, 기약분수의 분모가 \(5^2\)이므로 유한소수로 나타낼 수 있다.”
\(\frac{17}{200}\)의 분자와 분모에 같은 자연수를 곱하여 분모를 10의 거듭제곱으로 만들려고 합니다. 곱해야 하는 가장 작은 자연수를 구하고, 유한소수로 나타내세요.
정답과 풀이 보기
\(2^3\times5^3=10^3\)을 만들려면 5가 한 개 부족합니다. 따라서 가장 작은 자연수는 5입니다.
\(\frac{a}{150}\)을 유한소수로 나타낼 수 있도록 하는 가장 작은 자연수 \(a\)를 구하세요.
정답과 풀이 보기
유한소수가 되려면 기약분수의 분모에서 소인수 3이 약분되어 없어져야 합니다.
분모의 3을 약분하려면 분자 \(a\)가 3의 배수여야 합니다.
3의 배수 중 가장 작은 자연수는 3입니다.
따라서 가장 작은 자연수 \(a\)는 3입니다.
- 6문제 정답: 유한소수 변환, 판별, 약분 함정과 자연수 조건까지 이해했습니다.
- 4~5문제 정답: 약분을 먼저 해야 하는 문제와 부족한 소인수를 채우는 문제를 복습하세요.
- 2~3문제 정답: 기약분수의 분모에 2와 5만 남는지 확인하는 연습이 필요합니다.
- 0~1문제 정답: 분모를 소인수분해하고 2와 5를 짝짓는 과정부터 다시 확인하세요.
6. 유한소수 판별 문제에서 자주 하는 실수
처음 분모에 3이나 7이 있더라도 약분하면서 없어질 수 있습니다. 반드시 기약분수로 만든 뒤 남은 분모를 확인해야 합니다.
분모에만 수를 곱하면 분수의 값이 달라집니다. 분자와 분모에 같은 수를 곱해야 원래 분수와 같은 값이 유지됩니다.
분모의 소인수가 2만 있거나 5만 있어도 유한소수입니다. 예를 들어 분모 8은 \(2^3\), 분모 125는 \(5^3\)이므로 모두 가능합니다.
\(2^5\)에 5를 한 번만 곱하면 \(10^5\)이 되지 않습니다. 지수가 같아지도록 \(5^5\)를 곱해야 합니다.
7. 오늘의 핵심 정리
- 분수를 유한소수로 바꾸려면 분모를 10의 거듭제곱으로 만들 수 있습니다.
- 분모를 소인수분해한 뒤 2와 5의 개수가 같아지도록 부족한 소인수를 채웁니다.
- 분모에 곱한 수는 분자에도 똑같이 곱해야 합니다.
- 유한소수 판별은 반드시 기약분수로 약분한 뒤 해야 합니다.
- 기약분수의 분모에 2와 5 이외의 소인수가 없으면 유한소수입니다.
약분한 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 분모를 10의 거듭제곱으로 바꿀 수 있고, 그 분수는 유한소수로 나타낼 수 있습니다.
8. 유한소수 판별법 자주 묻는 질문
Q1. 유한소수가 되는 분수의 조건은 무엇인가요?
기약분수로 약분한 뒤 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있습니다.
Q2. 왜 기약분수로 먼저 약분해야 하나요?
처음 분모에 있는 3이나 7과 같은 소인수가 약분 과정에서 없어질 수 있기 때문입니다. 약분 후 실제로 남은 분모를 기준으로 판단해야 합니다.
Q3. 분모에 소인수 2만 있어도 유한소수인가요?
네. 부족한 5를 곱해 분모를 10의 거듭제곱으로 만들 수 있으므로 유한소수입니다.
Q4. 분모에 소인수 5만 있어도 유한소수인가요?
네. 부족한 2를 곱하면 분모를 10의 거듭제곱으로 만들 수 있습니다.
Q5. 분모에 3이 있으면 무조건 유한소수가 아닌가요?
약분한 뒤에도 분모에 3이 남아 있다면 유한소수가 아닙니다. 하지만 약분하면서 3이 없어질 수 있으므로 먼저 기약분수로 만들어야 합니다.
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